pdf de un producto de dos variables aleatorias uniformes independientes

Sean ~ e ~ dos variables aleatorias independientes con las distribuciones dadas. ¿Cuál es la distribución de ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

He intentado convolución, sabiendo que

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

También sabemos que , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Algo me dice, hay algo raro aquí, ya que es discontinuo en 0. Por favor, ayuda.

Ya se ha publicado una respuesta elegante, rigurosa y elegante. El propósito de este es obtener el mismo resultado de una manera que puede ser un poco más reveladora de la estructura subyacente de . Muestra por qué la función de densidad de probabilidad (pdf) debe ser singular en .$XY$$0$

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Se puede lograr mucho centrándose en las formas de las distribuciones de componentes :

• U ( 0 , 1 ) U ( 0 , 1 $X$ es dos veces una variable aleatoria . es una forma estándar, "agradable" característica de todas las distribuciones uniformes.$U(0,1)$$U(0,1)$

• U ( 0 , 1 $|Y|$es diez veces una variable aleatoria .$U(0,1)$

• El signo de sigue una distribución de Rademacher: es igual a o , cada uno con probabilidad .- 1 1 1 /$Y$$-1$$1$$1/2$

(Este último paso convierte una variante no negativa en una distribución simétrica alrededor de , cuyas colas se parecen a la distribución original).$0$

Por lo tanto, (a) es simétrico con respecto a y (b) su valor absoluto es veces el producto de dos variables aleatorias independientes .0 2 × 10 = 20 U ( 0 , 1 $XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

Los productos a menudo se simplifican tomando logaritmos. De hecho, es bien sabido que el logaritmo negativo de una variable tiene una distribución exponencial (porque esta es la forma más sencilla de generar variables exponenciales aleatorias), de donde el logaritmo negativo del producto de dos de ellas tiene La distribución de la suma de dos exponenciales. El exponencial es una distribución . Las distribuciones gamma con el mismo parámetro de escala son fáciles de agregar: simplemente agrega sus parámetros de forma. Por lo tanto, una más una tiene una distribución . Por consiguiente$U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

La variable aleatoria es la versión simétrica de veces el exponencial del negativo de una variable .$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

La construcción del PDF de partir de la de una distribución se muestra de izquierda a derecha, desde el uniforme, al exponencial, al , al exponencial de su negativo , a lo mismo escalado en , y finalmente la versión simétrica de eso. Su PDF es infinito en , lo que confirma la discontinuidad allí.$XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

Podríamos contentarnos con parar aquí. Por ejemplo, esta caracterización nos brinda una forma de generar realizaciones de directamente, como en esta expresión:$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

El análisis de Thsis también revela por qué el pdf explota en . $0$ Esa singularidad apareció por primera vez cuando consideramos el exponencial de (el negativo de) una distribución , correspondiente a multiplicar una variante por otra. Los valores dentro de (digamos) de surgen de muchas maneras, incluyendo (pero no limitado a) cuando (a) uno de los factores es menor que o (b) ambos factores son menores que . Esa raíz cuadrada es enormemente más grande que sí misma cuando está cerca de$\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$. Esto obliga a una gran probabilidad, en una cantidad mayor que , a exprimirse en un intervalo de longitud . Para que esto sea posible, la densidad del producto debe ser arbitrariamente grande en . Las manipulaciones posteriores, reescalar por un factor de y simétrizar, obviamente no eliminarán esa singularidad.$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

Esta caracterización descriptiva de la respuesta también conduce directamente a fórmulas con un mínimo de alboroto, mostrando que es completa y rigurosa. Por ejemplo, para obtener el pdf de , comience con el elemento de probabilidad de una distribución ,$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Dejar implica y . Esta transformación también invierte el orden: los valores más grandes de conducen a valores más pequeños de . Por esta razón, debemos negar el resultado después de la sustitución, dando$t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

El factor de escala de convierte esto a$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

Finalmente, la simetrización reemplaza por, permite que sus valores oscilen ahora entre y , y divide el pdf entre para distribuir la probabilidad total por igual entre los intervalos y :$z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

En su derivación, no se utiliza la densidad de . Dado que , así que en su fórmula de convolución (también corregí el jacobiano agregando el valor absoluto). Por lo tanto, $X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$ Aquí es una confirmación por simulación del resultado:

obtenido como

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)