¿Cómo definir una distribución tal que se extrae de ella se correlaciona con un sorteo de otra distribución especificada previamente?

¿Cómo defino la distribución de una variable aleatoria modo que un sorteo de tenga correlación con , donde es un sorteo único de una distribución con función de distribución acumulativa ? $Y$ $Y$ $\rho$ $x_1$ $x_1$ $F_{X}(x)$

— OctaviaQ
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Las siguientes Q están estrechamente relacionadas y serán de interés: Cómo generar números aleatorios correlacionados (dadas las variaciones de los medios y el grado de correlación) y Generar una variable aleatoria con una correlación definida a una variable existente .

— gung - Restablece a Monica

Puede definirlo en términos de un mecanismo de generación de datos. Por ejemplo, si y $X \sim F_{X}$

Y = ρ X + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z

$Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z$

donde y es independiente de , entonces, $Z \sim F_{X}$ $X$

c o v (X, Y) = c o v (X, ρ X) = ρ \cdot v a r (X)

${\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$

Tenga en cuenta también que desde tiene la misma distribución que . Por lo tanto, ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ $Z$ $X$

c o r (X, Y) = \frac{c o v (X, Y)}{\sqrt{v a r (X)^{2}}} = ρ

${\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho$

Así que si usted puede generar datos de , se puede generar una variable aleatoria, , que tiene una correlación especificada con . Sin embargo, tenga en cuenta que la distribución marginal de solo será en el caso especial donde es la distribución normal (o alguna otra distribución aditiva). Esto se debe al hecho de que las sumas de variables distribuidas normalmente son normales; esa no es una propiedad general de las distribuciones. En el caso general, tendrá que calcular la distribución de calculando la convolución (adecuadamente ajustada) de la densidad correspondiente a $F_{X}$ $Y$ $(\rho)$ $X$ $Y$ $F_{X}$ $F_{X}$ $Y$ consigo mismo. $F_{X}$

— Macro
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+1 Muy buena respuesta. Nitpick: en la última línea que necesita para convolución versiones escaladas de

F_{X}

$F_X$

— whuber

Muchas gracias, Macro. Solo para aclarar algo, ¿quiere decir en su último párrafo que necesitaría convolucionar el rho * X con el sqrt (1 - rho ^ 2) * X? (lo siento, no pude obtener ningún formato, incluso HTML para trabajar en este comentario en particular)

— OctaviaQ

ρ X

$\rho X$

\sqrt{1 - ρ^{2}} X

$\sqrt{1 - \rho^{2}} X$

Mucho tiempo pero ... ¿ideas de cómo hacer esto, que también imponen la distribución marginal de Y?

— Julián Urbano