Si X / Y tiene la misma distribución que Z, ¿es cierto que X tiene la misma distribución que YZ?

Sean X, Y y Z tres variables aleatorias independientes. Si X / Y tiene la misma distribución que Z, ¿es cierto que X tiene la misma distribución que YZ?

probability ratio

— usuario2808118
fuente

No. Considere el caso de que e sean normales normales y una variable aleatoria estándar de Cauchy (siendo los tres independientes según la premisa de la pregunta). Es bien sabido que tiene una distribución Cauchy estándar (la misma que la de ), pero no tiene una distribución normal estándar (ya que no existe). Por lo tanto, necesita restricciones adicionales en (véase la respuesta de Silverfish) para tener alguna esperanza de encontrar ejemplos en los que el resultado pueda ser válido.

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— Dilip Sarwate

@Dilip Pensé en usar eso como mi contraejemplo, pero lo evité porque no podía pensar en una breve explicación de por qué no existe. Si tienes un argumento claro, deberías publicarlo como una respuesta, creo. (Como probablemente pueda ver, evité deliberadamente ceros e infinitos en mi respuesta, ¡así que estaba muy interesado en evitar algo que ni siquiera es infinito!)

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

@Dilip Dado que es Cauchy, por lo que no existe, me parece que la condición no se cumple y la declaración no dice nada sobre . A modo de comparación: si es Cauchy e tiene la distribución degenerada , entonces parecería que existe (y es igual a cero) aunque no.

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Silverfish

Uno de los contraejemplos posibles más simples y quizás más intuitivos es dejar que e sea cualquier distribución con alguna posibilidad de no estar en (desde son los puntos fijos de y y son problemáticos en la definición de en cualquier caso). Entonces obviamente no es constante mientras que es.

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$

X

$X$

— whuber

@Silverfish se define solo si es finito. Pero, desdeyson variables aleatorias independientes Pero, dado que no es finito y , concluimos que no es finito (no hay problemas con el valor de ). En consecuencia, no está definido (o no existe) mientras que definitivamente existe y tiene el valor .

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Dilip Sarwate

Puede pasar. Por ejemplo, si , y son variables independientes de Rademacher , es decir, pueden ser 1 o -1 con igual probabilidad. En este caso es también Rademacher, por lo tanto tiene la misma distribución que , mientras que es Rademacher por lo tanto tiene la misma distribución que . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Pero no sucederá en general. Mientras existan los medios, las condiciones necesarias (pero no suficientes) para que tenga la misma distribución que , y para que tenga la misma distribución que , serían: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

Las segundas igualdades seguidas por la independencia. La sustitución da:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Si entonces , o equivalente, siempre que , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, sea una variable de Bernouilli traducida que toma valores o con igual probabilidad, entonces . Entonces toma los valores o con igual probabilidad, entonces . (Lo dejo a la imaginación del lector, qué efecto tan dramático habría tenido que usar un no traducido $Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ En cambio, la variable de Bernouilli, o una se tradujo solo ligeramente, por lo que está muy cerca de 0 con probabilidad de la mitad. Tenga en cuenta que en el ejemplo de Rademacher no hubo ningún problema aquí porque las tres expectativas eran cero, tenga en cuenta además que esta condición no es suficiente).

Podemos explorar cómo falla esta construyendo un contraejemplo más explícito. Para simplificar las cosas, supongamos que es un Bernouilli escalado y toma valores o con igual probabilidad. Entonces es , , o con igual probabilidad. Está claro que , y . Sea una variable independiente extraída de la misma distribución. ¿Cuál es la distribución de ? ¿Es lo mismo que la distribución de $Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ ? Ni siquiera tenemos que calcular la distribución de probabilidad completa para ver que no puede ser; es suficiente recordar que solo puede ser cero o dos, mientras que puede tomar cualquier valor que pueda obtener multiplicando uno de por uno de . $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Si desea una moraleja para esta historia, intente jugar con las variables de Bernouilli escaladas y traducidas (que incluye las variables de Rademacher). Pueden ser una forma sencilla de construir ejemplos y contraejemplos. Ayuda a tener menos valores en los soportes para que las distribuciones de varias funciones de las variables se puedan calcular fácilmente a mano.

Aún más extremo, podemos considerar variables degeneradas que solo tienen un valor único en su soporte. Si y son degenerados (con ), entonces será demasiado, y así la distribución de coincidirá con el valor de . Al igual que mi ejemplo de Rademacher, esa es una situación que muestra que se pueden satisfacer sus condiciones . Si, en cambio, como sugiere @whuber en los comentarios, dejamos que se degenere con , pero permitimos que varíe, entonces construir un contraejemplo aún más simple es muy fácil. Si puede tomar dos valores finitos distintos de cero, y $X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ , digamos - con probabilidad positiva, entonces , y por lo tanto , pueden tomar los valores y . Ahora por lo tanto tiene en su apoyo, por lo que no se puede seguir la misma distribución que . Esto es similar, pero más simple que, mi argumento de que los soportes no podrían coincidir en mi contraejemplo original. $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— Lepisma
fuente

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ Suponga que . Entonces, dado que es una función convexa en , la desigualdad de Jensen nos dice que la condición cumple solo si es degenerada. Lo mismo es cierto si , en cuyo caso 1 / x es cóncavo. Entonces, si es de signo fijo pero no degenerado, la condición necesaria no puede mantenerse.

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

— Dougal

@Dougal Gracias por mencionar esto. Al escribir, pensé en incluirlo, pero sentí que la discusión de signos, etc., interrumpiría el flujo. Pensé en decir "ver la desigualdad de Jensen" y agregar un enlace de Wikipedia o similar, pero luego decidí que no era una buena idea porque no lo había precedido por las condiciones de convexidad que estaba tratando de evitar. En cambio, eché un vistazo para ver si hay algún lugar (tal vez un hilo CV) donde se discute la expectativa de funciones no lineales de un RV en general, lo que naturalmente llevaría a un lector curioso a Jensen, pero no vi nada Me gusta todavia

— Silverfish

@Dougal Esta es una de esas veces que hay un poco de conflicto entre contraejemplos maravillosamente simples, algo muy fácil de calcular, por lo que alguien que trabajó bajo una mala interpretación puede ver de inmediato que es imposible o incorrecto, y un tratamiento general más completo que realmente ayuda mostrar bajo qué condiciones algo podría realmente tener (pero que puede ser demasiado difícil de seguir para algunos lectores y, por lo tanto, menos convincente para ellos). El RV en muestra incluso a un principiante por qué no funciona tan bien como pero Jensen dice mucho más sobre por qué.

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Silverfish

Sí, buen punto, aunque tengo curiosidad sobre las condiciones sobre cuándo puede mantenerse esta relación (aparentemente natural), que parecen ser bastante limitadas. Tenga en cuenta que en mi comentario anterior, escribí mal la condición: por supuesto, debería ser .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Dougal

@Dougal Creo que más allá de los RV degenerados, tales relaciones no son tan "naturales" como parecen por primera vez. Considere que tiene la misma distribución que e tiene la misma distribución que , y los tres son independientes ... Nuevamente, no se cumple en general.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Silverfish