Estimación de ML de distribución exponencial (con datos censurados)

En el Análisis de supervivencia, se supone que el tiempo de supervivencia de un rv $X_i$ se distribuye exponencialmente. Considerando ahora que tengo "resultados" de iid rv's . De hecho, solo una parte de estos resultados está "plenamente realizada", es decir, las observaciones restantes aún están "vivas". $x_1,\dots,x_n$ $X_i$

Si quisiera realizar una estimación ML para el parámetro de tasa de la distribución, ¿cómo puedo utilizar las observaciones no realizadas de manera coherente / apropiada? Creo que todavía contienen información útil para la estimación. $\lambda$

¿Podría alguien guiarme a la literatura sobre este tema? Estoy seguro de que existe. Sin embargo, tengo problemas para encontrar buenas palabras clave / términos de búsqueda para el tema.

— Buen chico mike
fuente

Entonces, usted dice que de las

variables aleatorias de las cuales tiene una medición, digamos que

observaciones representan duraciones de vida "finalizadas" (porque las variables aleatorias asociadas estaban "muertas" en el momento de la medición), mientras que el resto

observaciones son longitudes de supervivencia de variables aleatorias que estaban "todavía vivas" en el momento de la medición? (

)

n

$n$

n_{1} < n

$n_1 < n$

n_{2} < n

$n_2 <n$

n_{1} + n_{2} = n

$n_1+n_2 = n$

— Alecos Papadopoulos

Este es un modelo truncado, las variables aleatorias "vivas" se truncan en el momento en que se detiene la observación.

— Xi'an

Consulte los modelos de Tobit para obtener datos truncados y fuentes relacionadas (por ejemplo, aquí ).

— Richard Hardy

Parece que tiene datos censurados, como vidas, donde algunas personas murieron, pero algunas todavía están vivas, por lo que solo sabe que, digamos,

para alguna constante conocida

x_{i} > t_{i}

$x_i > t_i$

t_{i}

$t_i$

— kjetil b halvorsen

Tenga cuidado con la diferencia a veces sutil entre las dos situaciones. No es raro que el truncamiento se confunda con la censura, y viceversa.

— Alecos Papadopoulos

Todavía puede estimar los parámetros utilizando la probabilidad directamente. Deje que las observaciones sean con la distribución exponencial con tasa y desconocida. La función de densidad es , función de distribución acumulativa y función de cola $x_1, \dots, x_n$ $\lambda>0$ $f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$ $F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ . Suponga que las primeras observaciones se observan completamente, mientras que para solo sabemos que para algunas constantes positivas conocidas . Como siempre, la probabilidad es la "probabilidad de los datos observados", para las observaciones censuradas, que viene dada por $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$ $r$ $x_{r+1}, \dots, x_n$ $x_j > t_j$ $t_j$ , entonces la función de verosimilitud completa es La función de verosimilitud se convierte en $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

L (λ) = \prod_{yo = 1}^{r} F (X_{yo}; λ) \cdot \prod_{yo = r + 1}^{norte} sol (t_{j}; λ)

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$

que tiene la misma forma que la verosimilitud para el caso habitual, completamente observado, excepto desde el primer término

en lugar de

. Escribiendo

para la media de las observaciones y los tiempos de la censura, el estimador de máxima verosimilitud de

se convierte en

l (λ) = r Iniciar sesión λ - λ (X_{1} + \dots + X_{r} + t_{r + 1} + \dots + t_{norte})

$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$

r \log λ

$r\log\lambda$

n \log λ

$n\log\lambda$

T

$T$

λ

$\lambda$

, que usted mismo puede comparar con el caso completamente observado.

\hat{λ} = \frac{r}{n T}

$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT

$r=0$

l (λ) = - norte T λ

$l(\lambda) = -nT \lambda$

λ

$\lambda$

λ = 0

$\lambda=0$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$ basado en esa función de verosimilitud? Para eso, mira a continuación.

Pero, en cualquier caso, la conclusión real de los datos en ese caso es que deberíamos esperar más tiempo hasta que tengamos algunos eventos ...

$\lambda$ $e^{-\lambda n T}$ $p^n$ $p$ $[\underset{\bar{}}{p}, 1]$ $\lambda$ $\log p = -\lambda T$ .

$p$

PAG (X = norte) = {pag}^{norte} \geq 0,95 (decir)

$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$

n \log p \geq \log 0.95

$n\log p \ge \log 0.95$

λ

$\lambda$

λ \leq \frac{- Iniciar sesión 0,95}{norte T} .

$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$

— kjetil b halvorsen
fuente

x_{j} > t_{j}

$x_j > t_j$