¿Cómo convertir una función en una densidad de probabilidad mientras se mantiene la forma de la función?

Tengo una serie de funciones, cada una de las cuales supuestamente representa la densidad de una variable aleatoria entre agentes. Cada función también tiene un dominio, que describe qué valores de la variable aleatoria son válidos.

Ahora, si recuerdo mis clases de estadísticas correctamente, si tomo la integral de una de las funciones en los valores descritos por el dominio de la función, debería obtener un valor de 1.0. Sin embargo, esto no sucede.

¿Existe una técnica de normalización que pueda convertir una función en una verdadera densidad de probabilidad, pero que mantenga la forma de la función?

Todas las funciones tienen la forma , donde es la variable aleatoria, y son constantes variables. $\frac{a}{bx}+c$ $x$ $a,b,c$

distributions probability

— Graham
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Si tiene una función integrable no negativa con dominio tal que $f$ $D$

k = \int_{D} f (x) d x < \infty

$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$

Entonces es una densidad de probabilidad en . El valor se conoce como la constante de normalización . $f(x)/k$ $D$ $k$

Editar: En su ejemplo, dijo que para las constantes conocidas . En ese caso, la integral indefinida es simple de calcular y la constante de normalización sería $f(x) = \frac{a}{bx} + c$ $a,b,c$

k = {[\frac{a \log (x)}{b} + c x]}_{D}

$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$

si es un intervalo , esto se simplifica a $D$ $(A,B)$

k = \frac{a}{b} \cdot \log (\frac{B}{A}) + c (B - A)

$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$ Por lo tanto, es una densidad de probabilidad en .

g (x) = \frac{\frac{a}{b x} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log (\frac{B}{A}) + c (B - A)}

$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$

(A, B)

$(A,B)$

— Macro
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