Fórmula de Schuette-Nesbitt

Estaba leyendo el artículo sobre la fórmula de Schuette-Nesbitt , que se describe como "una generalización del principio de inclusión-exclusión" , que tiene versiones combinatorias y probabilísticas. Otro sitio web proporcionó una prueba de eventos dependientes (descarga en pdf) , y encontró un tercero que lo compara con el Teorema de Waring (pdf)

Sin embargo, todavía estoy confundido. Traté de encontrar un ejemplo claro y resuelto utilizando probabilidades discretas (por simplicidad) de que los pasos son claros de una línea a la siguiente, para ayudar a comprender la fórmula en general.

¿Hay una buena referencia o una respuesta que pueda dar un breve ejemplo resuelto?

He encontrado un ejemplo en el siguiente libro y mi respuesta es una versión modificada de la Sec 8.4.8.6 del libro para hacerlo conciso y claro.

Gerber, Hans U. "Seguro de vida". Seguro de vida Matemáticas. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

$B_1,\cdots B_n$ son eventos arbitrarios $N$ es una variable aleatoria que se extiende sobre $\{0, 1, ... , m\}$. Para coeficientes reales arbitrarios$c_1,\cdots c_m$, la fórmula de Schuette-Nesbitt es la siguiente identidad del operador entre el operador de desplazamiento $E:c_n\mapsto c_{n+1}$ y operador de diferencia $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$. Por definición, están relacionados a través de$E=id+\Delta$, la fórmula SN es

$$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ dónde $S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$ es la suma simétrica entre estos $n$ eventos y $S_0=1$. Tenga en cuenta que$[\Delta^{k}c_0]$ significa operador de diferencia que actúa sobre $c_0$. Por ejemplo,$[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$. Ambos operadores son lineales y, por lo tanto, tienen representaciones en términos de matriz, por lo tanto, pueden extenderse a anillos y módulos polinómicos (dado que estos dos objetos tienen "base", en términos generales). $$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$ $$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$

La prueba utiliza el truco del indicador y la expansión del polinomio del operador. $\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$ y el hecho de que $I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$ y $\Delta$ conmuta con indicadores, lo referiré al libro de Gerber.

Si elegimos $c_0=1$ y todos los demás $c_1=c_2=\cdots=c_n=1$, entonces la fórmula SN se convierte en el principio de inclusión-exclusión de la siguiente manera:

$$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$$

El teorema de Waring da la probabilidad de que exactamente $r$ fuera de $n$ eventos $B_1,\cdots B_n$ocurrir. Por lo tanto, se puede derivar especificando$c_r=1$ y todos los demás $c$'s = 0. La fórmula SN se convierte

$$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ porque cualquier término $[\Delta^{k}c_0]=0$ cuando $k<r$, un cambio de variable $t=k-r$ producirá la fórmula de Waring.

Hay un ejemplo de asignación de sobres en el libro de Gerber en el que puede echar un vistazo, pero mi sugerencia es comprenderlo en términos de álgebra de operador en lugar de probabilidad.