¿Qué es la matriz de covarianza asintótica?

¿Es cierto que la matriz de covarianza asintótica es igual a la matriz de covarianza de las estimaciones de parámetros? Si no, ¿qué es? ¿Y cuál es la diferencia entre la matriz de covarianza y la matriz de covarianza asintótica en ese caso? ¡Gracias por adelantado!

covariance asymptotics

— Leslie
fuente

La matriz de covarianza asintótica es una aproximación a la matriz de covarianza de la distribución de muestreo de las estimaciones de parámetros que mejora a medida que aumenta el número de muestras en las que se basan las estimaciones de parámetros.

— tchakravarty

Dada una muestra iid de una distribución paramétrica con densidad , es el parámetro desconocido, un estimador tiene una distribución con media y matriz de varianza-covarianza . Entonces es la matriz de varianza-covarianza de en el sentido de que $(X_1,\ldots,X_N)$ $f_\theta(\cdot)$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\mu_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$

E_{θ} [{\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)}^{T}] = Σ_{n} (θ) .

$\mathbb{E}_\theta\left[ \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\} \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}^{\text{T}} \right] = \Sigma_n(\theta)\,.$

Ahora, si es un estimador convergente y si existe una distribución limitante para , significa que existe una secuencia aumentando a , por ejemplo, , de modo que donde denota una distribución indexada por y la distribución limitante de lhs Esta distribución limitante tiene una variación que es llamado la varianza asintótica. $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $(\phi_n)$ $+\infty$ $\phi_n=\sqrt{n}$

ϕ_{n} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} \overset{dist}{⟶} G_{θ}

$\phi_n\left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}\stackrel{\text{dist}}{\longrightarrow} G_\theta$

G_{θ}

$G_\theta$

θ

$\theta$

Ξ_{θ}

$\Xi_\theta$

— Xi'an
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¿Por qué dices "eg "? ¿No debería siempre ser ?

ϕ_{n} = \sqrt{n}

$\phi_n=\sqrt n$

\sqrt{n}

$\sqrt n$

— user56834

Hay estimadores que convergen más rápido o más lento que como, por ejemplo, el Uniforme .

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Xi'an