¿Cómo encontrar cuando es una función de densidad de probabilidad?

¿Como puedo resolver esto? Necesito ecuaciones intermedias. Quizás la respuesta es . $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ es la función de densidad de probabilidad.

Es decir, y $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

fuente: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

Intentando las ecuaciones intermedias a continuación:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
fuente

¿Te refieres a ? Quizás¿O quieres decir ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Usa el teorema fundamental del cálculo

— Henry

Considere una primitiva de , entonces es fácil de derivar.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

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— Glen_b -Reinstale a Mónica el

Si está estudiando para un examen, darle la solución completa no es lo que debe hacer. Las preguntas de autoaprendizaje tienen como objetivo hacer que la persona que hace la pregunta se las arregle para resolver el problema por su cuenta.

— Xi'an

Respuestas:

Por definición, la derivada ( si existe ) es el límite del cociente de diferencia

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

como . $h\to 0$

Suponiendo que es continuo dentro de un intervalo para suficientemente pequeño , también será continuo durante todo este intervalo. Entonces el teorema del valor medio afirma que hay algo de entre y para el cual $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Como , necesariamente , y la continuidad de cerca de implica que el lado izquierdo tiene un límite igual a . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Es agradable ver que este análisis no requiere razonamiento sobre la existencia de la integral impropia original ). $\int_t^\infty x f(x) dx$

Sin embargo, incluso cuando una distribución tiene una densidad , esa densidad no tiene que ser continua. En los puntos de discontinuidad, el cociente de diferencia tendrá diferentes límites izquierdo y derecho: la derivada no existe allí. $f$

Este no es un asunto que pueda descartarse como una "patología" matemática arcana que los practicantes pueden ignorar. Los archivos PDF de muchas distribuciones comunes y útiles tienen puntos de discontinuidad. Por ejemplo, el Uniforme de distribución tiene PDF discontinua en y ; una distribución Gamma tiene un PDF discontinuo en cuando (que incluye la distribución exponencial ubicua y algunas de las ); y así. Por lo tanto, es importante no afirmar, sin calificaciones cuidadosas, que la respuesta es simplemente : eso sería un error. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
fuente

Un apéndice muy pequeño: hay casos en que la integral es diferenciable incluso cuando no es continua. Deje que para y para y para . Luego, cerca de 0, para y 0 para , que es perfectamente diferenciable en .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex R.

@Alex Cerca de , , no 2/2 . Considere el teorema fundamental del cálculo.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

¡Perdón por la confusion! Defino .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alex Su integrando es continuo cerca de cero, así que no veo qué tipo de ejemplo está presentando o qué muestra.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Gran derivación (+1): puede que no valga nada que este resultado sea un caso de la regla integral de Leibniz .

— Ben - Restablece a Mónica el

Resuelto ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

¡¡¡Gracias a todos!!!

— Hiroaki Machida
fuente

¿Qué es la función ? ¿Por qué la derivada de es 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs