¿Las probabilidades de errores de Tipo I y II están correlacionadas negativamente?

En una clase de estadística elemental para la que yo era un TA, el profesor afirmó que a medida que aumenta la probabilidad de un error tipo I , la probabilidad de un error tipo II β disminuye, y lo contrario también es cierto. Entonces esto me sugiere que ρ α , β < 0 .$\alpha$$\beta$$\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Pero, ¿cómo se probaría esto para una prueba de hipótesis general? ¿Es la afirmación incluso cierta en general?

Podría intentar un caso específico (digamos y H 1 : μ < μ 0 ) pero obviamente, eso no es lo suficientemente general como para manejar esta pregunta.$H_0: \mu = \mu_0$$H_1: \mu < \mu_0$

Estas cantidades ( y β ) no son variables aleatorias, por lo que dudo en hablar de su correlación de Pearson; No estoy seguro en qué sentido se aplicaría eso.$\alpha$$\beta$

Los dos están relacionados negativamente en el sentido de que, razonablemente hablando en general (pero ver más abajo *) - y manteniendo otras cosas (como el tamaño de la muestra y el tamaño del efecto en el que calcula ) igual - si cambia α , entonces β moverá el dirección opuesta (específicamente, en situaciones típicas, β es una función de α ; especifique cantidades suficientes para determinar β y dependerá de α , y esa relación será, en la mayoría de las situaciones razonables, del tipo que desea utilizar en un prueba real: ser negativamente dependiente).$\beta$$\alpha$$\beta$$\beta$$\alpha$$\beta$$\alpha$

Considere, por ejemplo, alguna curva de potencia. Mover empujará la curva de potencia ( 1 - β ) hacia arriba o hacia abajo, por lo que β en algún punto de la curva (que es la distancia entre la curva y 1) disminuye a medida que aumenta α . Aquí hay un ejemplo con una prueba de dos colas (digamos una prueba t).$\alpha$$1-\beta$$\beta$$\alpha$

El caso de una cola es similar, pero se enfocaría en la mitad derecha de la imagen de arriba (las dos curvas en la mitad izquierda de la imagen se acercarían a cero)

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* Hay algunas situaciones en las que esto no tiene por qué ser así. Considere probar un uniforme (0,1) mediante una prueba de Kolmogorov-Smirnov.

$(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Si observo un valor que no se encuentra en (0,1), la prueba de Kolmogorov-Smirnov no necesariamente rechaza el valor nulo. Pero puedo hacer una segunda prueba, (llamémosla la prueba KS *), que es como el Kolmogorov-Smirnov, excepto que cuando observamos un valor externo (0,1) también rechazamos el valor nulo, sea o no la estadística habitual alcanza el valor crítico.

$\alpha$

$\dagger$

$X$$f_0(x)$$f_1(x)$$H_0$$H_1$$\Gamma_0$$\Gamma_1$$\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$$\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$$H_i$$X \in \Gamma_i$

$$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$$ $\Gamma_0^\prime$$\Gamma_1^\prime$$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$ $$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$$ $$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

$\alpha$$\beta$