¿Cuál es la distribución del máximo de un par de sorteos iid, donde el mínimo es una estadística de orden de otros mínimos?

Considerar $n\cdot m$ sorteos independientes de cdf $F(x)$ , que se define sobre 0-1, donde $n$ y $m$ son enteros Agrupe arbitrariamente los sorteos en $n$ grupos con m valores en cada grupo. Mire el valor mínimo en cada grupo. Tome el grupo que tiene el mayor de estos mínimos. Ahora, ¿cuál es la distribución que define el valor máximo en ese grupo? Más en general, ¿cuál es la distribución para el $j$ estadística de enésimo orden de $m$ sorteos de $F(x)$ , donde el orden k de esos m sorteos es también el orden p de los n sorteos de esa estadística de orden k?

Todo eso es lo más abstracto, así que aquí hay un ejemplo más concreto. Considere 8 sorteos de $F(x)$ . Agrúpelos en 4 pares de 2. Compare el valor mínimo en cada par. Seleccione el par con el más alto de estos 4 mínimos. Etiqueta que dibuja "a". Etiquete el otro valor en ese mismo par como "b". Cual es la distribucion $F_b(b)$ ? Sabemos $b>a$ . Sabemos que a es el máximo de 4 mínimos de $F(x)$ de $F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$ . Que es $F_b(b)$ ?

— OctaviaQ
fuente

¿Puedo preguntar de dónde sacaste este problema?

— Theta30

JandR eliminó un comentario suyo en el que indicó un método ad-hoc utilizando pesos.

— Theta30

Sí, pensé que ahora era irrelevante, ya que proporcionó una solución mucho mejor. Veré si puedo encontrar lo que había escrito.

— OctaviaQ

sí, pero puede haber algunas ideas interesantes

— Theta30

Mi método de fuerza bruta: supuse que

X_{f i n a l}

$X_{final}$ sería una mezcla de ponderaciones predecibles de estadísticas de orden de n * m extraídas de F (x). Por ejemplo, para

n = 4

$n=4$ y

m = 2

$m=2$ , comenzamos con 8 sorteos independientes de F (x), y

X_{f i n a l}

$X_{final}$ > la estadística de cuarto orden. Para encontrar el PR de cada orden de estadísticas 5-8, escribí un script de computadora que escribió cada permutación de 1-8, y un algoritmo que encontró

X_{f i n a l}

$X_{final}$ para cada permutación (utilizando las estadísticas de pedido en sí como las comparaciones) (cont ...)

— OctaviaQ

Respuestas:

Respondo esto: "Agrupe arbitrariamente los sorteos en n grupos con m valores en cada grupo. Observe el valor mínimo en cada grupo. Tome el grupo que tenga el mayor de estos mínimos. Ahora, ¿cuál es la distribución que define el valor máximo? en ese grupo?
Dejar $X_{i,j}$ la i-ésima variable aleatoria en el grupo j y $f(x_{i,j})$ ( $F(x_{i,j})$ ) su función de densidad (cdf).
Dejar $X_{\max,j}, X_{\min,j}$ el máximo y el mínimo en grupo $j$ . Dejar $X_{final}$ La variable que resulta al final de todo el proceso. Queremos calcular $P(X_{final}<x)$ cual es

P (X_{max, j_{0}} < x and X_{min, j_{0}} = max_{j} X_{min, j} and 1 \leq j_{0} \leq n)

$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$

= n P (X_{m a x, 1} < x and X_{min, 1} = max_{j} X_{min, j})

$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$

= n m P (X_{1, 1} < x and X_{1, 1} = max_{i} (X_{i, 1}) and X_{min, 1} = max_{j} X_{min, j})

$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$

= n m P (X_{1, 1} < x, X_{1, 1} > X_{2, 1} > max_{j = 2 \dots n} X_{m i n, j}, \dots, X_{1, 1} > X_{m, 1} > max_{j = 2 \dots n} X_{m i n, j})

$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$ Ahora deja

Y = max_{j = 2 \dots n} X_{m i n, j}

$Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$ y

W = X_{1, 1}

$W=X_{1,1}$ .

Un recordatorio: si $X_1,\ldots X_n$ son iid con pdf (cdf) $h$ ( $H$ ), entonces $X_{\min}$ tiene pdf $h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$ y $X_{\max}$ tiene pdf $h_{max}=nhH^{n-1}$ .
Usando esto, obtenemos el pdf de $Y$ es

g (y) = (n - 1) m f (1 - F)^{m - 1} [\int_{0}^{y} m f (z) (1 - F (z))^{m - 1} d z]^{n - 2}, n \geq 2

$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$

Tenga en cuenta que $Y$ es una estadística que es independiente del grupo 1, por lo que su densidad conjunta con cualquier variable del grupo 1 es el producto de las densidades.
Ahora la probabilidad anterior se convierte en

n m \int_{0}^{x} f (w) [\int_{0}^{w} \int_{y}^{w} f (x_{2, 1}) d x_{2, 1} \dots \int_{y}^{w} f (x_{m, 1}) d x_{m, 1} g (y) d y] d w

$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$

= n m \int_{0}^{x} f (w) [\int_{0}^{w} (F (w) - F (y))^{m - 1} g (y) d y] d w

$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$ Al tomar derivada de esta integral wrt

x

$x$ y usando la fórmula binomial obtenemos el pdf de

X_{f i n a l}

$X_{final}$ .

Ejemplo: $X$ es uniforme $n=4$ , $m=3$ . Entonces

sol (y) = 9 9 (1 - y)^{2} (3 y + y^{3} - 3 y^{2})^{2},

$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$

PAGS (X_{F yo norte una l} < X) = (1 / / 55) X^{12} - (12 / / 55) X^{11}

$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$

+ (6 6 / / 5 5) X^{10} - (27 / / 7 7) X^{9 9} + (54 / / 7 7) X^{8} - (324 / / 35) X^{7 7} + (27 / / 5 5) X^{6 6} .

$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$

Significado de $X_{final}$ es $374/455=0.822$ y su sd es $0.145$ .

— Theta30
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¡Gracias por tu ayuda! Pero, cuando sigo el proceso exactamente para ejemplos simples (como F (x) = x, n = 4, m = 2), el pdf resultante no se integra a 1 o parece razonable. Entonces, no estoy seguro de lo que está mal. Además, no estoy claro acerca de su g (y). Pensé que necesitaría m: hmin (y) = m * f (y) (1-F (y)) ^ (m-1)  g (y) = (n-1) * hmin (y) * [ Integral sobre 0 a x de hmin (y)] ^ (n-2) o, más simplemente, G (y) = (1- (1-F (y)) ^ m) ^ (n-1), g ( y) = G '(y). Pero, incluso si sustituyo esto por g (y), el pdf final todavía no tiene sentido. ¿Estoy interpretando algo mal?

— OctaviaQ

@JandR Lo revisé hoy; ver las correcciones

— Theta30

Para su información, originalmente publiqué esta pregunta en mathoverflow.net. Publiqué un enlace a su respuesta aquí, pero si está interesado en volver a publicar o vincular su respuesta usted mismo, la pregunta está aquí: enlace

— OctaviaQ

Dado que los sorteos son de un iid samples, podemos considerar el sorteo seleccionado. Considerar $f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$ . Ahora sabemos que $b$ es desde $f(x)$ y eso $b>a$ . Entonces,

pags (si El | una) = \frac{F (si)}{\int_{una}^{1} F (y) re y} \forall si > una, 0 0 de otra manera .

$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$

El mínimo $m$ en un empate de dos es

{pags}_{2} (metro) = F (metro) \int_{metro}^{1} F (y) re y .

$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$

El mínimo más grande entre 4 sorteos sería

pags (una) = {pags}_{2} (una) {[\int_{0 0}^{una} {pags}_{2} (z) re z]}^{3} = F (una) \int_{una}^{1} F (X) re X {[\int_{0 0}^{una} F (y) (\int_{y}^{1} F (z) re z) re y]}^{3} .

$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$

Así que finalmente,

pags (si) = \int_{0 0}^{1} [tu (una) \frac{F (si)}{\int_{una}^{1} F (y) re y} F (una) \int_{una}^{1} F (X) re X {[\int_{0 0}^{una} F (y) (\int_{y}^{1} F (z) re z) re y]}^{3}] re una .

$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$

— highBandWidth
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Gracias por la elaboracion. Estoy tratando de conseguir esto! Dos preguntas: ¿Cuál es u (a) en la última ecuación? y, ¿estás seguro de que tu ecuación para p2 (m) es correcta? Es diferente (y tiene una respuesta diferente) de todas las otras ecuaciones mínimas que he visto. Por cierto, ¡realmente aprecio tu ayuda!

— OctaviaQ

Parece que a esta respuesta le faltan algunos coeficientes binomiales .

— whuber