¿Por qué en la definición de normalidad asintótica?

Una secuencia de estimadores para un parámetro es asintóticamente normal si . ( fuente ) Luego llamamos la varianza asintótica de . Si esta varianza es igual al límite de Cramer-Rao , decimos que el estimador / secuencia es asintóticamente eficiente. $U_n$ $\theta$ $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

Pregunta: ¿Por qué usamos en particular? $\sqrt{n}$

Sé que para la media de la muestra, y, por lo tanto, esta elección lo normaliza. Pero dado que las definiciones anteriores se aplican a más de la media de la muestra, ¿por qué seguimos eligiendo normalizar por ? $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— despistado
fuente

Para un buen estimador, debería tener media , el parámetro que se estima, y la varianza de debería converger a , es decir, la distribución de debería converger a una distribución degenerada con un solo átomo en . Pero hay muchas maneras diferentes en que puede ocurrir esta convergencia, por ejemplo, o etc. Deseamos aplique el soubriquet asintóticamente normal al último caso, pero no al primer caso.

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— Dilip Sarwate

Los estimadores eficientes son asintóticamente normales. en.wikipedia.org/wiki/…

— Khashaa

¿Esta pregunta podría titularse mejor como "normalidad asintótica" en lugar de "eficiencia asintótica"? No me queda claro dónde la "eficiencia" se convierte en un aspecto sustantivo de la pregunta, en lugar de solo el contexto en el que se ha encontrado la "normalidad asintótica".

— Silverfish

¡Uno solo tiene que verificar una prueba de la normalidad asintótica de MLE! ¡La raíz cuadrada es hacer un teorema de límite central aplicable a un promedio muestral!

n

$n$

— Megadeth

Respuestas:

No podemos elegir aquí. El factor "normalizador", en esencia, es un factor "estabilizador de la varianza a algo finito", para que la expresión no vaya a cero o al infinito a medida que el tamaño de la muestra va al infinito, sino para mantener una distribución en el límite.

Por lo tanto, tiene que ser lo que sea en cada caso. Por supuesto, es interesante que en muchos casos se descubra que tiene que ser . (pero vea también el comentario de @ whuber a continuación). $\sqrt n$

Un ejemplo estándar donde el factor de normalización tiene que ser , en lugar de es cuando tenemos un modelo $n$ $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + {tu}_{t}, y_{0 0} = 0 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

con ruido blanco, y estimamos la desconocida por mínimos cuadrados ordinarios. $u_t$ $\beta$

Si sucede que el valor verdadero del coeficiente es , entonces el estimador OLS es consistente y converge a la tasa usual de . $|\beta|<1$ $\sqrt n$

Pero si, en cambio, el valor verdadero es (es decir, tenemos en realidad una caminata aleatoria pura), entonces el estimador OLS es consistente pero convergerá "más rápido", a una velocidad (esto a veces se denomina estimador "superconsistente" - ya que, supongo, muchos estimadores convergen a razón ). En este caso, para obtener su (no normal) distribución asintótica, que tenemos a escala por (si escalamos solamente por la expresión a ir a cero). Hamilton ch 17 tiene los detalles. $\beta=1$ $n$ $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ $\sqrt n$

— Alecos Papadopoulos
fuente

Alecos, ¿podría aclarar qué se estima en el modelo

(donde supongo que quiso decir

y las observaciones están subíndice

etc.). Es que en el modelo

la OLS estimador

converge a una tasa

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

para

pero cuando

convergencia es a la velocidad

, o es el caso de que en el modelo

la convergencia siempre es a la velocidad

? En resumen, ¿cuál es el significado de la afirmación "y

, es decir, un paseo aleatorio puro"?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Gracias. Actualizado. Creo que está claro ahora.

— Alecos Papadopoulos

(+1) Podría valer la pena e instructivo notar que la elección de

o lo que sea apropiado) no es único. En su lugar, puede usarcualquierfunción

para la cual el valor límite de

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

es igual a la unidad. Es solo en este sentido más amplio que

"tiene que ser lo que tiene que ser".

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa El OP preguntó sobre la eficiencia asintótica, pero en el proceso, se reveló que el OP podría tener una impresión equivocada sobre los factores de "normalización". Este es un tema más fundamental, así que elegí cubrir esto en mi respuesta. Nada se dice en mi respuesta sobre la eficiencia.

— Alecos Papadopoulos

Quizás valga la pena mencionar en su respuesta que el caso con

lugar de

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Estabas en el camino correcto con una muestra de intuición de varianza media. Reorganizar la condición:

\sqrt{norte} (U_{norte} - θ) \to norte (0 0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{norte} - θ) \to \frac{norte (0 0, v)}{\sqrt{norte}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{norte} \to norte (θ, \frac{v}{norte})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

$U_n$ $\theta$ $n$

$n$

— Aksakal
fuente

Podrías explicar cómo haces los "arreglos". Como qué propiedades aplicas.

— mavavilj