Extender la paradoja del cumpleaños a más de 2 personas.

En la tradicional paradoja del cumpleaños, la pregunta es "cuáles son las posibilidades de que dos o más personas en un grupo de personas compartan un cumpleaños". Estoy atrapado en un problema que es una extensión de esto.$n$

En lugar de saber la probabilidad de que dos personas compartan un cumpleaños, necesito extender la pregunta para saber cuál es la probabilidad de que o más personas compartan un cumpleaños. Con puede hacer esto calculando la probabilidad de que no haya dos personas compartiendo un cumpleaños y restando eso de , pero no creo que pueda extender esta lógica a números mayores de .$x$$x=2$$1$$x$

Para complicar aún más esto, también necesito una solución que funcione para números muy grandes para (millones) (miles).$n$$x$

Este es un problema de conteo: hay posibles asignaciones de b cumpleaños para n personas. De ellos, que q ( k ; n , b ) sea ​​el número de tareas para las cuales no hay cumpleaños compartido por más de k personas, pero al menos un cumpleaños es compartido por k personas. La probabilidad que buscamos se puede encontrar sumando q ( k ; n , b ) para los valores apropiados de k y multiplicando el resultado por b - n .$b^n$$b$$n$$q(k; n, b)$$k$$k$$q(k;n,b)$$k$$b^{-n}$

Estos recuentos se pueden encontrar exactamente para valores de menores que varios cientos. Sin embargo, no seguirán ninguna fórmula directa: tenemos que considerar los patrones de las formas en que se pueden asignar los cumpleaños . Ilustraré esto en lugar de proporcionar una demostración general. Sea n = 4 (esta es la situación interesante más pequeña). Las posibilidades son:$n$$n = 4$

• Cada persona tiene un cumpleaños único; el código es {4}.
• Exactamente dos personas comparten un cumpleaños; el código es {2,1}.
• Dos personas tienen un cumpleaños y las otras dos tienen otro; el código es {0,2}.
• Tres personas comparten un cumpleaños; el código es {1,0,1}.
• Cuatro personas comparten un cumpleaños; el código es {0,0,0,1}.

En general, el código es una tupla de recuentos cuyos k th estipula elemento cuántas fechas de nacimiento distintas son compartidos por exactamente k personas. Así, en particular,$\{a[1], a[2], \ldots\}$$k^\text{th}$$k$

Tenga en cuenta, incluso en este caso simple, que hay dos formas de alcanzar el máximo de dos personas por cumpleaños: una con el código y otra con el código { 2 , 1 } .$\{0,2\}$$\{2,1\}$

Podemos contar directamente el número de posibles asignaciones de cumpleaños correspondientes a cualquier código dado. Este número es producto de tres términos. Uno es un coeficiente multinomial; cuenta el número de formas de dividir personas en un [ 1 ] grupos de 1 , un [ 2 ] grupos de 2 , y así sucesivamente. ¡Debido a que la secuencia de grupos no importa, tenemos que dividir este coeficiente multinomial por un [ 1 ] ! a [ 2 ] ! $n$$a[1]$$1$$a[2]$$2$$a[1]!a[2]!\cdots$; su recíproco es el segundo término. Finalmente, alinee los grupos y asígneles un cumpleaños a cada uno: hay candidatos para el primer grupo, b - 1 para el segundo, y así sucesivamente. Estos valores tienen que multiplicarse juntos, formando el tercer término. Es igual al "producto factorial" b ( a [ 1 ] + a [ 2 ] + ⋯ ) donde b ( m ) significa b ( b - 1 ) ⋯ ( b - m + $b$$b-1$$b^{(a[1]+a[2]+\cdots)}$$b^{(m)}$ .$b(b-1)\cdots(b-m+1)$

Hay una recursión obvia y bastante simple que relaciona el recuento de un patrón con el recuento del patrón { a [ 1 ] , ... , a [ k - 1 ] } . Esto permite el cálculo rápido de los recuentos para valores modestos de n . Específicamente, una [ k ] representa una [ k ] fecha de nacimiento compartida exactamente por $\{a[1], \ldots, a[k]\}$$\{a[1], \ldots, a[k-1]\}$$n$$a[k]$$a[k]$$k$personas cada uno. Después de esto grupos de k personas han sido extraídos de las n personas, que se pueden hacer en x maneras distintas (por ejemplo), queda por contar el número de maneras de lograr el patrón { un [ 1 ] , ... , a [ k - 1 ] } entre las personas restantes. Multiplicar esto por x da la recursividad.$a[k]$$k$$n$$x$$\{a[1], \ldots, a[k-1]\}$$x$

Dudo que haya una fórmula de forma cerrada para , que se obtiene sumando los recuentos de todas las particiones de n cuyo término máximo es igual a k . Permítanme ofrecer algunos ejemplos:$q(k; n, b)$$n$$k$

Con (cinco cumpleaños posibles) yn = 4 (cuatro personas), obtenemos$b=5$$n=4$

De ahí, por ejemplo, la posibilidad de que tres o más personas de cada cuatro compartan el mismo "cumpleaños" (de posibles fechas) es igual a ( 80 + 5 ) / 625 = 0.136 .$5$$(80 + 5)/625 = 0.136$

Como otro ejemplo, tomar y n = 23 . Estos son los valores de q ( k ; 23 , 365 ) para la k más pequeña (solo para seis sig figs):$b = 365$$n = 23$$q( k;23,365)$$k$

Usando esta técnica, podemos calcular fácilmente que hay aproximadamente un 50% de posibilidades de (al menos) una colisión de cumpleaños a tres bandas entre 87 personas, una probabilidad del 50% de una colisión a cuatro bandas entre 187 y una probabilidad del 50% de Una colisión de cinco vías entre 310 personas. Ese último cálculo comienza a tomar unos segundos (en Mathematica, de todos modos) porque el número de particiones a considerar comienza a aumentar. Para sustancialmente mayor necesitamos una aproximación.$n$

Se obtiene una aproximación por medio de la distribución de Poisson con expectativa , porque podemos ver una asignación de cumpleaños que surge de b variables Poisson casi (pero no del todo) independientes, cada una con expectativa n / b : la variable para cualquier cumpleaños posible dado describe cuántas de las n personas tienen ese cumpleaños. Por lo tanto, la distribución del máximo es aproximadamente F ( k ) b donde F es el CDF de Poisson. Este no es un argumento riguroso, así que hagamos una pequeña prueba. La aproximación para n = 23 , $n/b$$b$$n/b$$n$$F(k)^b$$F$$n = 23$ da$b = 365$

Al comparar con lo anterior, puede ver que las probabilidades relativas pueden ser pobres cuando son pequeñas, pero las probabilidades absolutas se aproximan razonablemente a aproximadamente 0.5%. Las pruebas con un amplio rango de y b sugieren que la aproximación generalmente es tan buena.$n$$b$

Para concluir, consideremos la pregunta original: tome (el número de observaciones) yb = $n = 10,000$ (el número de posibles "estructuras", aproximadamente). La distribución aproximada para el número máximo de "cumpleaños compartidos" es$b = 1\,000\,000$

(Este es un cálculo rápido). Claramente, observar una estructura 10 veces de cada 10,000 sería muy significativo. Debido a que y b son grandes, espero que la aproximación funcione bastante bien aquí.$n$$b$

Por cierto, como Shane insinuó, las simulaciones pueden proporcionar comprobaciones útiles. Se crea una simulación de Mathematica con una función como

simulate[n_, b_] := Max[Last[Transpose[Tally[RandomInteger[{0, b - 1}, n]]]]];

que luego se itera y resume, como en este ejemplo que ejecuta 10,000 iteraciones de , b = $n = 10000$ caso:$b = 1\,000\,000$

Tally[Table[simulate[10000, 1000000], {n, 1, 10000}]] // TableForm

Su salida es

2 8503

3 1493

4 4

Estas frecuencias coinciden estrechamente con las predichas por la aproximación de Poisson.

Siempre es posible resolver este problema con una solución monte-carlo, aunque eso está lejos de ser el más eficiente. Aquí hay un ejemplo simple del problema de 2 personas en R (de una presentación que hice el año pasado ; usé esto como un ejemplo de código ineficiente), que podría ajustarse fácilmente para dar cuenta de más de 2:

birthday.paradox <- function(n.people, n.trials) {
    matches <- 0
    for (trial in 1:n.trials) {
        birthdays <- cbind(as.matrix(1:365), rep(0, 365))
        for (person in 1:n.people) {
            day <- sample(1:365, 1, replace = TRUE)
            if (birthdays[birthdays[, 1] == day, 2] == 1) {
                matches <- matches + 1
                break
            }
            birthdays[birthdays[, 1] == day, 2] <- 1
        }
        birthdays <- NULL
    }
    print(paste("Probability of birthday matches = ", matches/n.trials))
}

Este es un intento de una solución general. Puede haber algunos errores, ¡así que úselo con precaución!

Primero alguna notación:

sea ​​la probabilidad de que x o más personas compartan un cumpleaños entre n personas,$P(x,n)$$x$$n$

sea ​​la probabilidad de queexactamente y personas compartan un cumpleaños entre n personas.$P(y|n)$ $y$$n$

Notas:

1. El abuso de la notación como Se está utilizando de dos maneras diferentes.$P(.)$

2. Por definición, no puede tomar el valor de 1 ya que no tiene ningún sentido e y = 0 puede interpretarse en el sentido de que nadie comparte un cumpleaños común.$y$$y$

Entonces la probabilidad requerida viene dada por:

$P(x,n) = 1 - P(0|n) - P(2|n) - P(3|n) .... - P(x-1|n)$

Ahora,

$P(y|n) = {n \choose y} (\frac{365}{365})^y \ \prod_{k=1}^{k=n-y}(1 -\frac{k}{365})$

$y$

$y$${n \choose y}$ ways.

Step 2: Since they share a birthday it can be any of the 365 days in a year. So, we basically have 365 choices which gives us $(\frac{365}{365})^y$.

Step 3: The remaining $n-y$ people should not share a birthday with the first $y$ people or with each other. This reasoning gives us $\prod_{k=1}^{k=n-y}(1 -\frac{k}{365})$.

You can check that for $x$ = 2 the above collapses to the standard birthday paradox solution.