Estacionariedad espacial intrínseca: ¿no se aplica solo para pequeños retrasos?

De la definición de estacionariedad intrínseca:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

Esta suposición se usa, por ejemplo, en kriging ordinario, en lugar de suponer una media constante en todo el espacio, suponemos que la media es constante localmente.

Si la media es constante en un vecindario, lógicamente esperamos que la diferencia entre dos mediciones cercanas sea cero. Pero dado que la media varía en el espacio, ¿no esperamos que la diferencia de valores alejados entre sí sea cero?

Entonces, ¿no debería ser la suposición de estacionariedad intrínseca:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$ para $h \to 0$

Si y no.

si

Recuerdo que Andre Journel hace mucho tiempo enfatizó los puntos que

• Los supuestos de estacionariedad son decisiones tomadas por el analista con respecto a qué tipo de modelo usar. No son propiedades inherentes del fenómeno.

• Tales suposiciones son robustas para las salidas porque kriging (al menos como se practicaba hace más de 20 años) era casi siempre un estimador local basado en la selección de datos cercanos dentro de vecindarios de búsqueda en movimiento.

Estos puntos respaldan la impresión de que la estacionariedad intrínseca es puramente una propiedad local al sugerir que, en la práctica, solo debe mantenerse dentro de un vecindario de búsqueda típico, y luego solo aproximadamente.

No

Sin embargo, matemáticamente es de hecho el caso de que las diferencias esperadas deben todos ser exactamente cero, independientemente de la distancia. De hecho, si todo lo que asumiera fuera que las diferencias esperadas son continuas en el retraso , ¡no estaría asumiendo mucho! Esa suposición más débil equivaldría a afirmar una falta de rupturas estructurales en la expectativa (lo que ni siquiera implicaría una falta de rupturas estructurales en las realizaciones del proceso), pero de lo contrario no podría explotarse para construir las ecuaciones de kriging ni siquiera estimar un variograma.$|h|$$h$

Para apreciar cuán débil (y prácticamente inútil) puede ser el supuesto de continuidad media, considere un proceso en la línea real para el cual$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

donde tiene una distribución normal estándar. La gráfica de una realización consistirá en una media línea a la altura para negativa y otra media línea a la altura para positiva .u x - u $U$$u$$x$$-u$$x$

Para cualquier y ,$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

pero casi seguramente , lo que demuestra que casi todas las realizaciones de este proceso son discontinuas en , aunque la media del proceso es continua en todas partes.$U\ne -U$$0$

Interpretación

Diggle y Ribeiro discuten este tema [en la pág. 66]. Están hablando de funciones aleatorias intrínsecas, para las cuales los incrementos se suponen estacionarios (no solo débilmente estacionarios):$Z(x)-Z(x-h)$

Las funciones aleatorias intrínsecas abarcan una clase más amplia de modelos que las funciones aleatorias estacionarias. Con respecto a la predicción espacial, la principal diferencia entre las predicciones obtenidas de modelos intrínsecos y estacionarios es que si se utilizan modelos intrínsecos, la predicción en un punto está influenciada por el comportamiento local de los datos; es decir, por la medición observada en ubicaciones relativamente cercanas a$x$$x$, mientras que las predicciones de los modelos estacionarios también se ven afectadas por el comportamiento global. Una forma de entender esto es recordar que la media de un proceso intrínseco es indeterminada. Como consecuencia, las predicciones derivadas de un supuesto modelo intrínseco tienden a fluctuar alrededor de un promedio local. En contraste, las predicciones derivadas de un modelo estacionario asumido tienden a volver a la media global del modelo asumido en áreas donde los datos son escasos. Cuál de estos dos tipos de comportamiento es el más natural depende del contexto científico en el que se utilizan los modelos.

Comentario

En cambio, si desea controlar el comportamiento local del proceso, debe hacer suposiciones sobre el segundo momento de los incrementos, . Por ejemplo, cuando esto se aproxima a como , el proceso es continuo cuadrado medio. Cuando existe un proceso para el cual0 h → 0 Z $E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

para todo , entonces el proceso es media cuadrático diferenciable (con derivada ).Z $x$$Z^\prime$

Referencias

Peter J. Diggle y Paulo J. Ribeiro Jr., Geoestadística basada en modelos . Springer (2007)