Breve resumen de ARE para la prueba una muestra t, la prueba firmada y la prueba de rango firmado
Espero que la versión larga de la respuesta de @ Glen_b incluya un análisis detallado para la prueba de rango con signo de dos muestras junto con la explicación intuitiva del ARE. Así que me saltearé la mayor parte de la derivación. (caso de una muestra, puede encontrar los detalles que faltan en Lehmann TSH).
Problema de prueba : Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria del modelo de ubicación f(x−θ) , simétrica con respecto a cero. Debemos calcular ARE de prueba con signo, prueba de rango con signo para la hipótesis H0:θ=0 relación con la prueba t.
Para evaluar la eficiencia relativa de las pruebas, solo se consideran alternativas locales porque las pruebas consistentes tienen una potencia que tiende a 1 frente a la alternativa fija. Las alternativas locales que dan lugar al poder asintótico no trivial a menudo tienen la forma θn=h/n−−√ para fijo , que se llama deriva de Pitman en alguna literatura.h
Nuestra tarea por delante es
- encuentre la distribución límite de cada estadística de prueba bajo nulo
- encuentre la distribución límite de cada estadística de prueba bajo la alternativa
- calcular el poder asintótico local de cada prueba
Prueba de estadísticas y asintóticas
- prueba t (dada la existencia de ) t nσt n = √
tn=n−−√X¯σ^→dN(0,1)under the null
tnorte= n--√X¯σ^→renorte( h / σ, 1 )bajo la alternativa θ = h / n--√
- prueba firmada Sn=1n∑ni=11{Xi>0}
√
n−−√(Sn−12)→dN(0,14)under the null
y tiene poder asintótico local
1 - Φ ( z α - 2 h f ( 0 ) )n−−√(Sn−12)→dN(hf(0),14)under the alternative
1−Φ(zα−2hf(0))
- prueba de rangos con signo W n → d N ( 2 h ∫ f 2 , 1
Wn=n−2/3∑i=1nRi1{Xi>0}→dN(0,13)under the null
y tiene poder asintótico local
1 - Φ ( z α - √Wn→dN(2h∫f2,13)under the alternative
1−Φ(zα−12−−√h∫f2)
Por lo tanto, A R E ( W n ) = ( √
ARE(Sn)=(2f(0)σ)2
Si
fes la densidad normal estándar,
ARE(Sn)=2/π,
ARE(Wn)=3/πARE(Wn)=(12−−√∫f2σ)2
fARE(Sn)=2/πARE(Wn)=3/π
fARE(Sn)=1/3ARE(Wn)=1/3
Observación sobre la derivación de distribución bajo la alternativa
Por supuesto, hay muchas formas de derivar la distribución limitante bajo la alternativa. Un enfoque general es usar el tercer lema de Le Cam. La versión simplificada de los estados
ΔnWn
(Wn,Δn)→dN[(μ−σ2/2),(σ2Wττσ2/2)]
under the null, then Wn→dN(μ+τ,σ2W)under the alternative
For quadratic mean differentiable densities, local asymptotic normality and contiguity are automatically satisfied, which in turn implies Le Cam lemma.
Using this lemma, we only need to compute cov(Wn,Δn) under the null. Δn obeys LAN
Δn≈hn−−√∑i=1nl(Xi)−12h2I0
where
l is score function,
I0 is information matrix.
Then, for instance, for signed test
Sn
cov(n−−√(Sn−1/2),Δn)=−hcov(1{Xi>0},f′f(Xi))=h∫∞0f′=hf(0)