Interesante derivación de R al cuadrado

Hace años encontré esta identidad a través de la experimentación jugando con datos y transformaciones. Después de explicárselo a mi profesor de estadística, llegó a la siguiente clase con una prueba de una página usando notación vectorial y matricial. Lamentablemente perdí el papel que me dio. (Esto fue en 2007)

¿Alguien puede reconstruir una prueba?

Deje ser sus puntos de datos originales. Defina un nuevo conjunto de puntos de datos girando el conjunto original por angle ; llama a estos puntos . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

El valor R al cuadrado del conjunto original de puntos es igual al producto negativo de la derivada con respecto a del logaritmo natural de la desviación estándar para cada coordenada del nuevo conjunto de puntos, cada uno evaluado en $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
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La derivación no es un ejercicio particularmente interesante de manipulación simbólica. Desde entonces, y

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ y el resultado sigue .

Tengo curiosidad por saber cómo se te ocurrió esa ecuación, especialmente qué experimento en particular reveló tal identidad.

— Khashaa
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¡Gracias! Esto es en realidad mucho más simple que su prueba que recuerdo. La identidad surgió simplemente jugando con datos años antes; para las patadas simplemente hago rotaciones, desviaciones estándar, derivadas, logaritmos, sumar, multiplicar, etc. Tenía el r ^ 2 original como una línea horizontal y graficando cualquier función creada como una función de theta. A veces se cruzaban, pero en ángulos "extraños"; a veces nunca cruzado. Entonces de alguna manera cruzaron en theta = cero. Pensé que eso era interesante. Probado con otros datos aleatorios y todavía se mantuvo. No vi cómo funcionaba, pero pensé en una identidad clara.

— sheppa28