Propagación de error utilizando series de Taylor de segundo orden

Estoy leyendo un texto, "Estadística matemática y análisis de datos" de John Rice. Estamos interesados en que se aproxima al valor esperado y la varianza de la variable aleatoria . Podemos calcular el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria y conocemos la relación . Por lo tanto, es posible aproximar el valor esperado y la varianza de utilizando la expansión de la serie Taylor de sobre . $Y$ $X$ $Y = g(X)$ $Y$ $g$ $\mu_X$

En la página 162, enumera 3 ecuaciones.

El valor esperado de usando la expansión de la serie Taylor de primer orden. Es: . Esto se menciona más adelante en mi pregunta como . $Y$ $\mu_Y \approx g(\mu_X)$ $E(Y_1)$
La varianza de usando la expansión de la serie Taylor de primer orden. Es: . Esto se menciona más adelante en mi pregunta como . $Y$ $\sigma_Y^2 \approx \sigma_X^2 (g'(\mu_X))^2$ $Var(Y_1)$
El valor esperado de usando la expansión de la serie Taylor de segundo orden. Es . Esto se menciona más adelante en mi pregunta como . $Y$ $\mu_Y \approx g(\mu_X) + \frac12 \sigma_X^2 g''(\mu_X)$ $E(Y_2)$

Tenga en cuenta que hay dos expresiones diferentes para $Y$ porque estamos usando dos órdenes diferentes en la expansión de la serie Taylor. Las ecuaciones 1 y 2 se refieren a $Y_1 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X)$ . La ecuación 3 se refiere a $Y_2 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X) + \frac12 (X-\mu_X)^2 g''(\mu_X)$ .

Tenga en cuenta que específicamente la ecuación para $Var(Y_2)$ no se da. Más tarde, el autor parece usar la ecuación para la varianza de $Y_1$ (Ecuación 2), cuando de hecho se está refiriendo al valor esperado de $Y_2$ (Ecuación 3). Esto parece implicar $Var(Y_2) = Var(Y_1)$ .

He tratado de calcular a mano , y una expresión algo complicada. Aquí está mi trabajo (me detuve porque al final términos en la expectativa): $Var(Y_2)$ $X^3$

\begin{aligned} V a r (Y_{2}) & = E [(g (μ_{X}) + (X - μ_{X}) a + \frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} b - g (μ_{X}) - \frac{1}{2} σ_{X}^{2} b)^{2}] \\ = E [((X - μ_{X}) a + {(\frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [(c a + {(\frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [c^{2} a^{2} + c a (c^{2} - σ_{X}^{2}) b + \frac{1}{4} (c^{2} - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \\ = E [(X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) a^{2} + (X - μ_{X}) a ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2}) b \\ + \frac{1}{4} ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(Y_2) &= E[( g(\mu_X) + (X-\mu_X)a + \frac12 (X-\mu_X)^2 b - g(\mu_X) - \frac12 \sigma_X^2 b )^2] \\ &= E\left[((X-\mu_X)a + \left(\frac12 (X-\mu_X)^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ &= E\left[(ca + \left(\frac12 c^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ & = E[c^2 a^2 + ca(c^2 - \sigma_X^2)b + \frac14(c^2-\sigma_X^2)^2 b^2] \\ & = E[(X^2 - 2X \mu_X + \mu_X^2)a^2 + (X-\mu_X)a((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2) - \sigma_X^2)b \\ & + \frac14((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2)-\sigma_X^2)^2 b^2] \end{aligned}$

Tenga en cuenta que en las ecuaciones anteriores, , y . ¿Qué es ? $a = g'(\mu_X)$ $b = g''(\mu_X)$ $c = X-\mu_X$ $Var(Y_2)$

Gracias.

self-study mathematical-statistics error

— jrand
fuente

¿Por qué te detuviste en ? Debido a que la aproximación de segundo orden es una función cuadrática de , su varianza generalmente implicará momentos de hasta . El tercer momento puede ser cero, pero el cuarto momento definitivamente aparecerá y no será cancelado por nada.

X^{3}

$X^3$

X

$X$

X

$X$

2 \cdot 2 = 4

$2 \cdot 2 = 4$

— whuber

Suponiendo que , podemos derivar la varianza aproximada de utilizando la expansión de Taylor de segundo orden de sobre siguiente manera: $Y=g(X)$ $Y$ $g(X)$ $\mu_X=\mathbf{E}[X]$

\begin{array}{rcl} V a r [Y] & = & V a r [g (X)] \\ \approx & V a r [g (μ_{X}) + g^{'} (μ_{X}) (X - μ_{X}) + \frac{1}{2} g^{″} (μ_{X}) (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} V a r [(X - μ_{X})^{2}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) C o v [X - μ_{X}, (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} E [(X - μ_{X})^{4} - σ_{X}^{4}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} \\ + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (E [X^{4}] - 4 μ_{X} E [X^{3}] + 6 μ_{X}^{2} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) - 3 μ_{X}^{4} - σ_{X}^{4}) \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Var}[Y] &=& \mathbf{Var}[g(X)]\\ &\approx& \mathbf{Var}[g(\mu_X)+g'(\mu_X)(X-\mu_X)+\frac{1}{2}g''(\mu_X)(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{Var}[(X-\mu_X)^2]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mathbf{Cov}[X-\mu_X,(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{E}[(X-\mu_X)^4-\sigma_{X}^{4}]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}\\ & & +\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\left(\mathbf{E}[X^4]-4\mu_X\mathbf{E}[X^3]+6\mu_{X}^{2}(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})-3\mu_{X}^{4}-\sigma_{X}^{4}\right)\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ \end{eqnarray*}$

Como @whuber señaló en los comentarios, esto puede ser limpiado un poco mediante el uso de la tercera y cuarta momentos centrales de . Un momento central se define como . Observe que . Usando esta nueva notación, tenemos que $X$ $\mu_k=\mathbf{E}[(X-\mu_X)^k]$ $\sigma_{X}^{2}=\mu_2$

V a r [Y] \approx (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) μ_{3} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (μ_{4} - σ_{X}^{4})

$\mathbf{Var}[Y]\approx(g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mu_3+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2(\mu_4-\sigma_{X}^{4})$

— asumido normal
fuente

Ese es el enfoque correcto, pero ¿no olvidó incluir la covarianza entre y ?

X - μ_{X}

$X-\mu_X$

(X - μ_{X})^{2}

$(X-\mu_X)^2$

— whuber

@whuber Sí, lo hice. Gracias por señalar eso. Lo editaré pronto.

— asumido normal

Puede ahorrarse algunos problemas escribiendo la respuesta en términos del segundo, tercer y cuarto momento central , , y . Debe obtener .

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{3}

$\mu_3$

μ_{4}

$\mu_4$

σ^{2} g^{'} (μ)^{2} + μ_{3} g^{'} (μ) g^{″} (μ) + \frac{1}{4} (μ_{4} - σ^{4}) g^{″} (μ)^{2}

$\sigma^2 g'(\mu )^2 + \mu_3 g'(\mu ) g''(\mu )+\frac{1}{4} \left(\mu_4-\sigma ^4\right) g''(\mu )^2$

— whuber

@jrand - Mis disculpas. No me di cuenta de que tenías esto en tu publicación original. Sin embargo, no estoy eliminando mi publicación, porque me tomó un tiempo escribir.

— asumido el

@Max, whuber: Gracias por la respuesta y explicación.

— jrand