¿Cuáles son los parámetros de un Wishart-Wishart posterior?


12

Al inferir la matriz de precisión Λ de una distribución normal utilizada para generar N vectores dimensionales D x1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
usualmente colocamos un Wishart anterior sobre Λ ya que la distribución Wishart es el conjugado previo para La precisión de una distribución normal multivariada con media conocida y varianza desconocida:
ΛW(υ,Λ0)
donde υ son los grados de libertad y Λ0 elMatriz de escala . Para agregar robustez y flexibilidad al modelo, colocamos un hiperprior sobre los parámetros del Wishart. Por ejemplo, Görür y Rasmussen sugieren:
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
donde G es la distribución Gamma.

Pregunta:

para muestrear la parte posterior de Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

¿Cuál es la familia y los parámetros de este posterior?

PD:

Descartando todos los factores que no dependen de Λ0 e identificando los parámetros con los parámetros de un Wihsart, obtengo un Wishart con parámetros:

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

lo cual se ve bastante bien, pero no estoy seguro en absoluto ya que no encuentro ningún ejemplo ni en libros ni en internet.

Errata :

Görur y Rasmussen sugieren esos hiperpriors sobre los parámetros de Wishart, pero esta ecuación:

ΛW(υ,Λ0)

debería ser:

ΛW(υ,Λ01)

resolviendo así la falta de conjugación. Si queremos mantener entonces deberíamos usar el Wishart Inverso como previo (ver la respuesta de @ Xi'an)Λ0

Respuestas:


5

El producto de las dos densidades en lleva a

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

que no parece ser una densidad estándar. Para mantener la conjugación, la jerarquía correcta anterior en debería ser algo así como Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).

1
Gracias por la sugerencia @ Xi'an!, En realidad, el parámetro en la probabilidad debería ser (mi culpa, ver edición). Acabo de publicar una respuesta usando esto y manteniendo el Wishart * Wishart. Λ01
alberto

6

Ok, gracias a la respuesta de @ Xi'an pude hacer toda la derivación. Lo escribiré para un caso general: donde es la clave de la conjugación. Si queremos usar entonces debería ser:

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)
S1S
W(W|υ,S)×IW(S|υ0,S0)

Estoy haciendo el primer caso (corrígeme si me equivoco):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

donde usamos el hecho de que . Por inspección, vemos que esta es una distribución de Wishart: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

Extensión para dibujaNW1...WN :

Para el caso en que tenemos matrices de precisión, entonces la probabilidad se convierte en un producto de probabilidades y obtenemos:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
Al usar nuestro sitio, usted reconoce que ha leído y comprende nuestra Política de Cookies y Política de Privacidad.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.