¿Cuál es la lógica detrás del método de los momentos?

¿Por qué en "Método de momentos", equiparamos los momentos de muestra con los momentos de población para encontrar el estimador puntual?

¿Dónde está la lógica detrás de esto?

intuition method-of-moments

— usuario 31466
fuente

Sería bueno si tuviéramos un físico en nuestra comunidad para abordar esto.

— mugen

@mugen, no veo relación alguna con la física.

— Aksakal

@Aksakal también usan momentos de funciones en física, y siempre es bueno cuando alguien hace un paralelo para una mejor interpretación.

— mugen

Como se menciona en esta respuesta , la ley de los grandes números proporciona una justificación (aunque asintótica) para estimar un momento población por un momento en la muestra, lo que resulta en (a menudo), simples estimadores consistentes

— Glen_b -Reinstate Monica

¿No es toda la idea representar los parámetros usando momentos? Al igual que si intenta estimar el parámetro de distribución de Poisson, al encontrar la media (primer momento) puede usarlo como un estimador para su parámetro lambda.

— denis631

Respuestas:

Una muestra que consta de $n$ realizaciones de variables aleatorias distribuidas de forma idéntica e independiente es ergódica. En tal caso, los "momentos muestrales" son estimadores consistentes de los momentos teóricos de la distribución común, si los momentos teóricos existen y son finitos.

Esto significa que

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Entonces, al equiparar el momento teórico con el momento de muestra correspondiente tenemos

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Entonces ( no depende de ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Entonces lo hacemos porque obtenemos estimadores consistentes para los parámetros desconocidos.

— Alecos Papadopoulos
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¿Qué significa "plim"? No estoy familiarizado con "p" en

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— usuario 31466

Límite de probabilidad @leaf

— Alecos Papadopoulos

¿Qué pasaría si fuera un límite regular en lugar de un límite de probabilidad?

— usuario 31466

Nos diría que el estimador se convierte en una constante, no que tiende probabilísticamente a uno. Quizás debería buscar modos de convergencia de variables aleatorias, wikipedia tiene una introducción decente, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos De acuerdo. ¿Me pregunto si tiene sentido poner algo simple como "... y bajo ciertas condiciones en

μ_{k}

$\mu_k$

— Jerome Baum

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$ or the sample

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$ , so that

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$ is a bunch of delta-functions, and the (Lebesgue) integral with respect to

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$ is the sample sum

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$ . If your functional

T (\cdot)

$T(\cdot)$ is (weakly) differentiable, and

F_{n} (x)

$F_n(x)$ converges in the appropriate sense to

F (x)

$F(x)$ , then it is easy to establish that the estimate is consistent, although of course more hoopla is needed to obtain say asymptotic normality.

— StasK
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No he escuchado esto llamado "principio de analogía", pero es un patrón de análisis econométrico de uso frecuente: conecte el estimador de muestra cada vez que se necesite el parámetro de población pero se desconozca.

— Aksakal

@Aksakal: "conecta el estimador de muestra cada vez que se necesita el parámetro de población pero se desconoce". ¿No es este enfoque simplemente llamado estadística?

— user603

@user603: No, not. There are other alternative approaches, and plu-in estimators can be bad.

— kjetil b halvorsen