¿Covarianza e independencia?

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Leí de mi libro de texto que no garantiza que X e Y sean independientes. Pero si son independientes, su covarianza debe ser 0. Todavía no se me ocurre ningún ejemplo adecuado; alguien podría proporcionar uno? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Cerdo volador
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También puede disfrutar de una revisión rápida del Cuarteto de Anscombe , que ilustra algunas de las muchas formas diferentes en que un conjunto de datos bivariado puede realizar una covarianza particular distinta de cero.

— whuber

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Lo que hay que tener en cuenta es que la medida de covarianza es una medida de linealidad. Calcular la covarianza es responder a la pregunta "¿Los datos forman un patrón de línea recta?" Si los datos siguen un patrón lineal, entonces son dependientes. PERO, esta es solo una forma en la que los datos pueden ser dependientes. Es como preguntar '¿Conduzco imprudentemente?' Una pregunta podría ser '¿Viaja 25 mph por encima del límite de velocidad?' Pero esa no es la única forma de conducir imprudentemente. Otra pregunta podría ser '¿Estás borracho?' etc. Hay más de una forma de conducir imprudentemente.

— Adam

La llamada medida de linealidad da una estructura a la relación. Lo importante es que la relación puede ser no lineal, lo que no es raro. En general, la covarianza no es cero, es hipotética. La covarianza indica la magnitud y no una razón,

— Subhash C. Davar

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Ejemplo fácil: Sea una variable aleatoria que es o con probabilidad 0.5. Entonces deje que sea una variable aleatoria tal que si , e es aleatoriamente o con probabilidad 0.5 si . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Claramente, e son altamente dependientes (ya que conocer me permite conocer perfectamente a ), pero su covarianza es cero: ambos tienen media cero y $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

O, más generalmente, tome cualquier distribución y cualquier tal que para toda (es decir, una distribución conjunta que sea simétrica alrededor del eje ), y siempre tendrá cero covarianza. Pero tendrá no independencia siempre que $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ ; es decir, los condicionales no son todos iguales a los marginales. O lo mismo para la simetría alrededor deleje . $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
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$X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
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Me gusta ese ejemplo también. Como un caso particular, un N (0,1) rv y un chi2 (1) rv no están correlacionados.

— ocram

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E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

@DilipSarwate, gracias, he editado mi respuesta en consecuencia. Cuando lo escribí pensé acerca de las variables normales, para ellas el tercer momento cero se sigue de la media cero.

— mpiktas

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La imagen a continuación (fuente Wikipedia ) tiene una serie de ejemplos en la tercera fila, en particular el primer y el cuarto ejemplo tienen una fuerte relación dependiente, pero 0 correlación (y 0 covarianza).

ingrese la descripción de la imagen aquí

— nada101
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En algunos otros ejemplos, considere los puntos de datos que forman un círculo o una elipse, la covarianza es 0, pero sabiendo que x limita y a 2 valores. O datos en un cuadrado o rectángulo. Además, los datos que forman una X o una V o una ^ o <o> darán covarianza 0, pero no son independientes. Si y = sin (x) (o cos) yx cubre un múltiplo entero de períodos, entonces cov será igual a 0, pero sabiendo x, usted conoce y o al menos | y | en los casos de elipse, x, <y>.

— Greg Snow
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Eso debería ser "si x cubre un múltiplo entero de períodos que comienzan en un pico o valle", o más generalmente: "Si x cubre un intervalo en el que y es simétrico"

— nada101

¿Podría explicar por qué la covarianza es cero para un círculo?

— user1993 hace

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@ user1993, mire la fórmula para la covarianza (o correlación). Luego piensa en el círculo / elipse. Restar las medias da un círculo centrado en (0,0), por lo que para cada punto en el círculo puede reflejar el punto alrededor del eje x, el eje y y ambos ejes para encontrar un total de 4 puntos que contribuye exactamente el mismo valor absoluto a la covarianza, pero 2 será positivo y 2 será negativo dando una suma de 0. Haz esto para todos los puntos en un círculo y sumarás un grupo de 0 dando una covarianza total de 0.

— Greg Snow hace