¿Hay equivalentes normalizados a la inclinación y la curtosis?

¿Cuál sería el equivalente normalizado a Skewness que tendría la misma unidad que los datos? Del mismo modo, ¿cuál sería el equivalente normalizado a Kurtosis? Idealmente, estas funciones deberían ser lineales con respecto a los datos, lo que significa que si todas las observaciones se multiplicaran por un factor n, la asimetría y la curtosis normalizadas resultantes se multiplicarían por el mismo factor n. El beneficio de tener tales equivalentes normalizados sería poder superponerlos encima de un diagrama estándar de caja y bigotes.

skewness kurtosis

— Ismael Ghalimi
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¡Qué pregunta tan divertida!

— Alexis

No estoy seguro de cuán esclarecedor sería ilustrar esto en gráficos. La razón por la que ilustramos las desviaciones estándar es que dan una medida natural de la dispersión de los datos (si normalmente se distribuye): el 65% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo. No creo que haya interpretaciones visuales tan naturales para el tercer y cuarto momento.

— Ben Kuhn

¿Qué intentas mostrar sobre tus datos? Si es un cierto comportamiento cualitativo de la distribución, ¿podría ser preferible una trama de violín ? Pero sí, de todos modos, es una pregunta divertida.

— Ben Kuhn

Uno puede tener una sensación de asimetría y curtosis al observar un histograma que muestra la distribución del conjunto de datos, pero dará una percepción muy subjetiva de estas medidas. Me gustaría representarlos en dos escalas lineales, una para la asimetría paralela al eje del diagrama de caja y bigotes, la otra ortogonal a ella. Esto podría representarse como un cuadro separado superpuesto en la parte superior del cuadro primario. Cuanto más alto sea ese cuadro, más sesgada es la información. Cuanto más ancho, más puntiagudo (curtosis alta).

— Ismael Ghalimi

Y gracias por el enlace a la trama del violín. Es muy inteligente

— Ismael Ghalimi

Respuestas:

Las medidas de inclinación son deliberadamente sin unidades .

$E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$

$\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

$X$ $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$ .)

No estoy seguro de lo útil que será.

$\sigma$

$\sigma$ $\mu$

La curtosis sigue el mismo patrón: por momento, debe tomar la cuarta raíz del cuarto momento no estandarizado para obtener algo que se amplíe con los datos.

$\sigma$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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La oblicuidad y la curtosis son características de la forma. Entonces, si te digo que la cosa, una pelota, es redonda, no debería importar cuál es el radio de la cosa. Puede ser una pelota pequeña o una pelota grande . Por otro lado, cuando digo una bola pequeña o un cubo grande me refiero al tamaño del objeto, no a la forma.

En este sentido, la desviación estándar es el tamaño de la distribución, es por eso que la asimetría y la curtosis se normalizan por tamaño. También se podría decir que la desviación estándar pertenece a la mecánica, y la asimetría y la curtosis a la geometría. Por lo tanto, no, no necesitamos tenerlos en unidades de medida de la variable. El tamaño y la forma están separados. Una bola grande y una pequeña son igualmente redondas , es decir, el tamaño no importa en este caso :)

— Aksakal
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$R$ $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ $M_2 = P\Lambda^2 P^T$

x^{'} = Λ^{- 1} P^{T} x

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$

M_{2}

$M_2$

M_{2 i j}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} P^{T} x) (Λ^{- 1} P^{T} x)^{T} | d x |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} P^{T} (\int_{R} x x^{T} | d x |) P Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} P^{T} P Λ^{2} P^{T} P Λ^{- 1} = I

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

El significado geométrico del segundo momento es "orientación", que se justifica por el hecho de que la diagonalización normaliza el segundo momento. Cuando la asimetría se calcula bajo esta normalización, se llama asimetría de Mardia .

— Han JaeSeung Estudiante de Kyoto
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