Fórmula para la regresión lineal simple ponderada

Esta página wiki La regresión lineal simple tiene fórmulas para calcular y . ¿Alguien podría decirme cómo derivar las fórmulas en caso ponderado?$\alpha$$\beta$

Piense en los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) como una "caja negra" para minimizar

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

para una tabla de datos cuya fila es la tupla .$i^\text{th}$$(1, x_i, y_i)$

Cuando hay pesos, necesariamente positivos, podemos escribirlos como . Por definición, los mínimos cuadrados ponderados minimizan$w_i^2$

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Pero eso es exactamente lo que el cuadro negro de OLS está minimizando cuando se le da la tabla de datos que consiste en las tuplas "ponderadas" . Entonces, aplicar las fórmulas OLS a estas tuplas ponderadas le da las fórmulas que busca.$(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$