¿Cuáles son la media y la varianza de la distribución Gamma?

Hay dos formas para la distribución Gamma, cada una con diferentes definiciones para los parámetros de forma y escala. En lugar de preguntar cuál es la forma utilizada para la implementación de gsl_ran_gamma , probablemente sea más fácil pedir las definiciones asociadas para la media y la desviación estándar en términos de los parámetros de forma y escala.

Cualquier puntero a las definiciones sería apreciado.

gamma-distribution

— Aengus
fuente

La documentación ambigua (o faltante) es una señal de alerta, porque sugiere que los implementadores son demasiado inexpertos para darse cuenta de que existen convenciones diferentes y que la suya necesita documentación detallada. Por lo tanto, además de averiguar qué convención se usa, sería prudente realizar pruebas exhaustivas de la implementación.

— whuber

@whuber: la documentación proporciona la forma del pdf explícitamente. En este caso, la forma dada es la misma que la utilizada en, por ejemplo, Wikipedia.

— cardenal

@whuber: la documentación de GSL es clara e inequívoca; error de usuario. La versión HTML que recité salió lo suficientemente clara como para no sospechar un problema.

— Aengus

@ Cardinal Gracias. Mi comentario fue redactado en general, pero respondió específicamente a Google para obtener información sobre "gsl_ran_gamma". La primera mitad de la página de visitas arrojó solo el tipo de documentación más vaga (y la segunda mitad de la página arrojó muchos informes de errores, aunque antiguos). ¿Quizás podría proporcionar un enlace al pdf para el registro?

— whuber

@whuber: había colocado una referencia en los comentarios a la respuesta. Pero, actualmente está oculto debajo del pliegue. La documentación para la distribución gamma se puede encontrar en la página 230 del manual de referencia actual de la Biblioteca Científica GNU .

— cardenal

Respuestas:

Si el parámetro de forma es y la escala es , una parametrización tiene función de densidad $k>0$ $\theta>0$

p (x) = x^{k - 1} \frac{e^{- x / θ}}{θ^{k} Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ e^{-x/\theta} }{\theta^{k} \Gamma(k)}$

donde el argumento, , no es negativo. Una variable aleatoria con esta densidad tiene media y varianza (esta parametrización es la que se usa en la página de wikipedia sobre la distribución gamma). $x$ $k \theta$ $k \theta^{2}$

Una parametrización alternativa utiliza como parámetro de velocidad (parámetro de escala inversa) y tiene densidad $\vartheta = 1/\theta$

p (x) = x^{k - 1} \frac{ϑ^{k} e^{- x ϑ}}{Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ \vartheta^{k} e^{-x \vartheta} }{\Gamma(k)}$

Bajo esta opción, la media es y la varianza es . $k/\vartheta$ $k/\vartheta^{2}$

— Macro
fuente

Gracias por la rápida respuesta; alguna idea de qué forma se usa en gsl_ran_gamma?

— Aengus

No, pero podría simular algunos valores dados de la forma y la escala y ver si la media de la muestra está más cerca de o .

k θ

$k \theta$

k / ϑ

$k/\vartheta$

— Macro

@Aengus: Según la documentación, GSL utiliza la parametrización con media . En la anotación de la documentación, la media sería .

k θ

$k\theta$

a b

$ab$

— Cardenal

@cardinal: Muchas gracias, no lo vi en la documentación. Aprecio mucho la respuesta, pero ¿puede señalarme hacia un enlace, etc. Mi búsqueda de gsl_ran_gamma fue bastante insatisfactoria. Absolutamente sin cuestionar la respuesta, pero solo para no volver a preguntar algo tan simple.

— Aengus

@Aengus: la sección 20.14 de la documentación de GSL 1.14 (postdata) es lo que miré. Está en la página 229. No estoy seguro si esa es la versión más reciente , ya que es de marzo de 2010.

— cardenal

en realidad, además de lo que Macro dijo, hay una tercera forma para la distribución gamma con un parámetro de forma y un parámetro medio $v$ $\mu$

$p(x\mid \mu,v) = constant \times x^{\frac{v-2}{2}} e^{-\frac{xv}{2\mu}}$

si entonces y $x \sim G(\mu,v)$ $E(x) = \mu$ $var(x) =\dfrac{2\mu^2}{v}$

— Anas Alhashimi
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