Esto comenzó como un comentario pero creció demasiado; Decidí convertirlo en una respuesta más.
UN⟹sisi⟹UN
Me gustaría tratar algunos problemas adicionales y señalar algunas respuestas extensas que ya están relacionadas en cierta medida.
La declaración en la página de Wikipedia que cita no es estrictamente cierta tampoco. Considere, por ejemplo, la distribución de Cauchy, que ciertamente es simétrica respecto a su mediana, pero que no tiene una media. La declaración necesita un calificador como 'siempre que existan la media y la asimetría'. Incluso si lo reducimos a la declaración más débil en la primera mitad de la primera oración, todavía necesita "siempre que exista la media".
Su pregunta combina en parte la simetría con asimetría cero (supongo que tiene la intención de asimetría del tercer momento, pero se podría escribir una discusión similar para otras medidas de asimetría). Tener 0 asimetría no implica simetría. La parte posterior de su cita y la sección de Wikipedia citada por Alexis mencionan esto, aunque la explicación dada en la segunda cita podría usar algunos ajustes.
Esta respuesta muestra que la relación entre la asimetría del tercer momento y la dirección de la relación entre la media y la mediana es débil (la asimetría del tercer momento y la asimetría del segundo Pearson no tienen por qué corresponder).
El ítem 1. de esta respuesta da un contraejemplo discreto, similar pero diferente al que da Silverfish.
Editar: Finalmente desenterré el ejemplo unimodal que estaba buscando antes.
En esta respuesta menciono la siguiente familia:
124Exp( - x1 / 4) [ 1 - α sin( x1 / 4) ]
α = 0α =12
(las líneas grises muestran la densidad azul volteada alrededor del eje x para que la asimetría sea clara)
Whuber da otro ejemplo aquí con asimetría cero que es continuo, unimodal y asimétrico. He reproducido su diagrama:
que muestra el ejemplo y lo mismo volteó sobre la media (para mostrar claramente la asimetría) pero debe leer el original, que contiene mucha información útil.
[La respuesta de Whuber aquí da otra familia asimétrica continua de distribuciones con todos los mismos momentos. Hacer el mismo truco "elige dos, voltea uno y toma una mezcla 50-50" tiene el mismo resultado de asimétrico con todos los momentos impares cero, pero creo que no da resultados unimodales aquí (aunque tal vez hay algunos ejemplos). ]
La respuesta aquí discute la relación entre media, mediana y moda.
Esta respuesta discute las pruebas de hipótesis de simetría.