Como señaló Glen_b, si los autobuses llegan cada minutos sin ninguna incertidumbre , sabemos que el tiempo de espera máximo posible es de 15 minutos. Si de nuestra parte llegamos "al azar", sentimos que "en promedio" esperaremos la mitad del tiempo de espera máximo posible . Y el tiempo de espera máximo posible aquí es igual a la longitud máxima posible entre dos llegadas consecutivas. Denote nuestro tiempo de espera W y la longitud máxima entre dos llegadas consecutivas de autobuses R , y argumentamos que1515WR
mi( W) = 12R = 152= 7.5(1)
y estamos en lo correcto
Pero de repente se nos quita la certeza y se nos dice que minutos es ahora la duración promedio entre dos llegadas de autobuses. Y caemos en la "trampa del pensamiento intuitivo" y pensamos: "solo necesitamos reemplazar R con su valor esperado", y argumentamos15R
mi( W) = 12mi( R ) = 152= 7.5INCORRECTO(2)
Una primera indicación de que estamos equivocados, es que no es "longitud entre dos llegadas de autobús consecutivas", es " longitud máxima, etc.". En cualquier caso, tenemos que E ( R ) ≠ 15 .Rmi( R ) ≠ 15
¿Cómo llegamos a la ecuación ? Pensamos: "el tiempo de espera puede ser de 0 a 15 como máximo . Llego con la misma probabilidad en cualquier caso, así que" elijo "al azar y con la misma probabilidad todos los tiempos de espera posibles. Por lo tanto, la mitad de la longitud máxima entre dos llegadas consecutivas de autobús es mi tiempo de espera promedio ". Y estamos en lo cierto.( 1 )0 015
Pero al insertar por error el valor en la ecuación ( 2 ) , ya no refleja nuestro comportamiento. Con 15 en lugar de E ( R ) , la ecuación ( 2 ) dice "Elijo al azar y con la misma probabilidad todos los tiempos de espera posibles que sean menores o iguales a la longitud promedio entre dos llegadas consecutivas de autobuses ", y aquí es donde nuestro intuitivo el error radica en que nuestro comportamiento no ha cambiado; por lo tanto, al llegar aleatoriamente de manera uniforme, en realidad todavía "elegimos aleatoriamente y con igual probabilidad" todos los tiempos de espera posibles, pero "todos los tiempos de espera posibles" no son capturados por15( 2 )15mi( R )( 2 ) - hemos olvidado la cola derecha de la distribución de longitudes entre dos llegadas consecutivas de autobuses. 15
Entonces, quizás deberíamos calcular el valor esperado de la longitud máxima entre dos llegadas consecutivas de autobuses, ¿es esta la solución correcta?
Sí, podría ser, pero : la "paradoja" específica va de la mano con una suposición estocástica específica: que las llegadas de autobuses están modeladas por el proceso de referencia de Poisson, lo que significa que, como consecuencia, suponemos que el período de tiempo entre dos llegadas de autobús consecutivas siguen una distribución exponencial. Denote esa longitud, y tenemos esoℓ
Fℓ( ℓ ) = λ e- λ ℓ,λ = 1 / 15 ,mi( ℓ ) = 15
Esto es aproximado, por supuesto, ya que la distribución exponencial tiene un apoyo ilimitado desde la derecha, lo que significa que, estrictamente hablando, "todos los tiempos de espera posibles" incluyen, bajo este supuesto de modelado, magnitudes mayores y mayores hasta e "incluido" infinito, pero con una probabilidad desvaneciente .
Pero espera, la exponencial es sin memoria : no importa en qué momento en el tiempo que llegaremos, nos enfrentamos a la misma variable aleatoria , independientemente de lo que ha ido antes.
Dado este supuesto estocástico / distributivo, cualquier momento es parte de un "intervalo entre dos llegadas de autobuses consecutivas" cuya longitud se describe por la misma distribución de probabilidad con el valor esperado (no el valor máximo) : "Estoy aquí, estoy rodeado por un intervalo entre dos llegadas de autobuses. Parte de su longitud se encuentra en el pasado y otras en el futuro, pero no tengo forma de saber cuánto y cuánto, así que lo mejor que puedo hacer es preguntar ¿Cuál es su longitud esperada? ¿Cuál será mi tiempo de espera promedio? " - Y la respuesta es siempre " 15 ", por desgracia. 1515