Valor esperado y varianza de la estimación del parámetro de pendiente

Estoy leyendo un texto, "Probabilidad y estadística" de Devore. Estoy viendo 2 ítems en la página 740: el valor esperado y la varianza de la estimación de $\beta_1$ , que es el parámetro de pendiente en la regresión lineal $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ . $\epsilon_i$ es una variable aleatoria gaussiana ( $\mu = 0, variance=\sigma^2$ ) y $\epsilon_i$ son independientes.

La estimación de $\beta_1$ se puede expresar como: $\hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x}) (Y_i - \bar{Y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}$ , donde $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$ . Entonces, mi pregunta es: ¿cómo obtengo $E(\hat{\beta_1})$ y $Var(\hat{\beta_1})$ ? El libro ya ha dado los resultados: $E(\hat{\beta_1}) = \beta_1$ y $Var(\hat{\beta_1}) = \frac{\sigma^2}{S_xx}$ .

Mi trabajo en la derivación: $E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ , ya que $\sum(x_i - \bar{x})c = 0$ y $E(c\epsilon) = 0$ . Pero estoy atascado.

Además, $Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})}{S_{xx}}\right) \sigma^2$ , pero estoy atascado.

regression self-study linear

— jrand
fuente

Mi comentario del 22 de junio de 2011 en la respuesta del usuario whuber debería incluir el subíndice

en los

, y debería hacer uso del hecho de que los términos de error

son independientes.

i

$i$

ϵ

$\epsilon$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— jrand

V a r (\hat{β_{1}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) ϵ_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ_{1}}{S_{x x}} + \frac{(x_{2} - \bar{x}) ϵ_{2}}{S_{x x}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x}) ϵ_{n}}{S_{x x}}) = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \frac{(x_{2} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} = σ^{2} [\sum \frac{(x_{i} - \bar{x})^{2}}{(S_{x x})^{2}}] = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$\mathrm{Var}(\hat{\beta_1}) = \mathrm{Var}\left(\sum\frac{(x_i - \bar{x})y_i}{S_{xx}}\right) = \mathrm{Var}\left(\sum{\frac{(x_i-\bar{x})\epsilon_i}{S_{xx}}}\right) = \mathrm{Var}\left(\frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon_1}{S_{xx}} + \frac{(x_2 - \bar{x})\epsilon_2}{S_{xx}} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})\epsilon_n}{S_{xx}}\right) = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \frac{(x_2 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} = \sigma^2 \left[\sum{\frac{(x_i-\bar{x})^2}{(S_{xx})^2}}\right] = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

La "respuesta" estándar es una subestimación, ignora la varianza de S_ {xx}.

— climbert8

En la situación que se le preguntó sobre,

se está condicionada a, por lo que se trata como fijo en lugar de aleatorio

X

$X$

— Glen_b -Reinstate Monica

= $E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ porque todo es constante. El resto es solo álgebra. Evidentemente, debe mostrar. Mirar la definición dey comparar los dos lados lleva a uno a sospechar. Esto se deduce fácilmente de la definición de . $\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}$ $\sum (x_i - \bar{x}) x_i = S_{xx}$ $S_{xx}$ $\sum(x_i - \bar{x}) \bar{x} = 0$ $\bar{x}$
= $Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right)$ . Simplifica, usando la definición de, al resultado deseado. $\sum \left[\frac{(x_i - \bar{x})^2}{S_{xx}^2}\sigma^2\right]$ $S_{xx}$

— whuber
fuente

Para el segundo punto, la varianza, la ecuación debe ser:

V a r (\frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ + (x_{2} - \bar{x}) ϵ + \dots + (x_{n} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = (\frac{\sum_{i}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{S_{x x}^{2}}) \times σ^{2} = \frac{S_{x x}}{S_{x x}^{2}} \times σ^{2} = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left( \frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon + (x_2 - \bar{x})\epsilon + \ldots + (x_n - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}} \right) = \left( \frac{ \sum_i^{n} (x_i - \bar{x})^2} {S_{xx}^2} \right) \times \sigma^2 = \frac{S_{xx}}{S_{xx}^2} \times \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

@jrand Sí, eso es exactamente lo que escribí (aunque su primera igualdad no logra nada: es solo una forma más laboriosa de escribir el resumen). El punto completo, y lo que vale la pena recordar, es que cuando

es una variable aleatoria con una varianza y

es constante,

ε

$\varepsilon$

λ

$\lambda$

V a r (λ ε)

$Var(\lambda \varepsilon)$

λ^{2} V a r (ε)

$\lambda^2 Var(\varepsilon)$

— whuber

\sum_{i}^{n} (x_{i})^{2} = {(\sum_{i}^{n} x_{i})}^{2}

$\sum_i^n (x_i)^2 = \left( \sum_i^n x_i \right)^2$

@jrand Tienes razón: hay un error tipográfico en mi respuesta. Gracias por señalarlo. Lo he formateado para corregir el error y aclarar la lógica.

— whuber