Números esperados de colores distintos al dibujar sin reemplazo

Considere una urna que contiene bolas de diferentes colores, siendo la proporción de bolas de color entre las bolas ( ). Extraigo bolas de la urna sin reemplazo y miro el número de diferentes colores entre las bolas que se dibujaron. ¿Cuál es la expectativa de en función de , dependiendo de las propiedades adecuadas de la distribución ? $N$ $P$ $p_i$ $i$ $N$ $\sum_i p_i = 1$ $n \leq N$ $\gamma$ $\gamma$ $n/N$ $\mathbf{p}$

Para dar más información: si y para todo , siempre veré exactamente colores, es decir, . De lo contrario, se puede demostrar que la expectativa de es . Para y fijos , parecería que el factor por el cual multiplicar sería máximo cuando es uniforme; ¿tal vez el número esperado de colores diferentes visto esté limitado en función de y, por ejemplo, la entropía de ? $N = P$ $p_i = 1/P$ $i$ $n$ $\gamma = P (n/N)$ $\gamma$ $>P(n/N)$ $P$ $N$ $n/N$ $\mathbf{p}$ $n/N$ $\mathbf{p}$

Esto parece estar relacionado con el problema del recolector de cupones, excepto que el muestreo se realiza sin reemplazo y la distribución de los cupones no es uniforme.

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
fuente

Creo que este problema puede plantearse como: ¿cuál es el número esperado de entradas distintas de cero en una muestra de una distribución hipergeométrica multivariada ?

— Kodiólogo

Suponga que tiene colores, donde . Let denota el número de bolas de color tan . Dejar que y dejar notate el conjunto que se compone de los subconjuntos de elementos de . Sea el número de formas en que podemos elegir $k$ $k \leq N$ $b_i$ $i$ $\sum b_i = N$ $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ $E_i(B)$ $i$ $B$ $Q_{n, c}$ $n$ elementos del conjunto anterior de modo que el número de colores diferentes en el conjunto elegido sea . Para la fórmula es simple: $c$ $c = 1$

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

Para podemos contar conjuntos de bolas de tamaño que tiene como máximo 2 colores menos el número de conjuntos que tienen exactamente color: $c = 2$ $n$ $1$

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

es la cantidad de formas en que puede agregar un color a un color fijo, de modo que tendrá 2 colores si tienecolores en total. La fórmula genérica es si tienecolores fijos y desea hacercolores mientras tienecolores en total () es $\binom{k - 1}{1}$ $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ . Ahora tenemos todo para derivar la fórmula genérica para: $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

La probabilidad de que tenga exactamente colores si dibuja bolas es: $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

También tenga en cuenta que $\binom{x}{y} = 0$ if $y > x$ .

Probably there are special cases where the formula can be simplified. I didn't bother to find those simplifications this time.

The expected value you're looking for the number of colors dependent on $n$ is the following:

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
fuente

You call

P_{n, c}

$P_{n,c}$ a probability, but you seem to have defined it as a sum of integers. Did you forget to divide by something?

— Kodiologist

Yes, I guess you're right. You need to divide by

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$ , but unfortunately it's still not right that way. If

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$ and

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$ I do doublecounting in the above formula.

— jakab922

Seems like the formula can be fixed by using the sieve method. I will post a fix later today.

— jakab922