Relación entre la distribución gamma y chi-cuadrado

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$ donde

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ , es decir, todas las

X_{i}

$X_i$ son iid variables aleatorias normales de media cero con las mismas variaciones, entonces

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Sé que la distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma, pero no podía derivar la distribución chi-cuadrado para la variable aleatoria . ¿Alguna ayuda, por favor? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— kaka
fuente

Algunos antecedentes

La distribución se define como la distribución que resulta de sumar los cuadrados de variables aleatorias independientes , entonces: $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$ donde

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$ denota que las variables aleatorias

tienen la misma distribución (EDITAR: distribución

X

$X$

Y

$Y$ denotará tanto una distribución de Chi cuadrado congrados de libertad como una variable aleatoria con dicha distribución $\chi_n^2$ $n$ ). Ahora, el pdf del

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Entonces, de hecho, ladistribución

es un caso particular de

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

con pdf

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

Ahora está claro que

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Tu caso

La diferencia en su caso es que tiene variables normales con variaciones comunes . Pero en ese caso surge una distribución similar: $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Nota

$\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— épsilona
fuente

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

n

$n$