Información de Fisher observada bajo una transformación


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De "En toda probabilidad: modelado estadístico e inferencia usando probabilidad" por Y. Pawitan, la probabilidad de una nueva parametrización se define como modo que si g es uno a uno, entonces L ^ * (\ psi) = L (g ^ {- 1} (\ psi)) (p. 45). Estoy tratando de mostrar el ejercicio 2.20 que establece que si \ theta es escalar (y presumo que se supone que g también es una función escalar), entonces I ^ * (g (\ hat {\ theta})) = I ( \ hat {\ theta}) \ left | \ frac {\ partial g (\ hat {\ theta})} {\ partial \ hat {\ theta}} \ right | ^ {- 2}, donde I (\ theta) = - \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ theta ^ 2} l (\ theta) θg(θ)=ψg L * ( ψ ) = L ( g - 1 ( ψ ) ) θ g I * ( g ( θ ) ) = I ( θ ) | g ( θ

L(ψ)=max{θ:g(θ)=ψ}L(θ)
gL(ψ)=L(g1(ψ))θgI(θ)=-
I(g(θ^))=I(θ^)|g(θ^)θ^|2,
I(θ)=2θ2l(θ)
es la información de Fisher observada y l(θ)=logL(θ) .

Si g es uno a uno, esto es sencillo utilizando la regla de la cadena y el principio de invariancia. Me pregunto algunas cosas:

  1. ¿Por qué insiste en escribir el valor absoluto? Esto podría quedar fuera, ¿verdad?
  2. Por g(θ^)θ^ se refiere a la función g(θ)θ evaluada en θ=θ^ , ¿verdad? Si este es el caso, ¿no es una mala elección de notación? Creo que la notación abreviada habitual para este mundo sería g(θ^)θ .
  3. ¿Cómo se muestra esto cuando g no es necesariamente uno a uno?

Respuestas:


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  1. El valor absoluto es innecesario. Puede ser solo un error tipográfico.

  2. Estás en lo correcto. Una notación aún mejor sería .dg(θ)dθ|θ=θ^

  3. No se sostiene en general. algunos y defina por . Los rhs estarían indefinidos ya que la derivada es cero para cada .ψ0g:RRg(θ)=ψ0θ

Un bosquejo del caso regular:

Para suavizar una a una con . Como , tenemos Por lo tanto, gψ=g(θ)d/dψ=dθ/dψd/dθ

I(ψ)=d2L(ψ)dψ2=ddψ(dL(ψ)dψ)=ddψ(dL(ψ)dθdθdψ)=d2L(ψ)dθ2(dθdψ)2dL(ψ)dθd2θdψ2dθdψ.
DL(g-1(g( θ )))/dθ=dL( θ )/dθ=0
I(g(θ^))=d2L(g(θ^))dθ2(dθdψ)2dL(g(θ^))dθd2θdψ2dθdψ=d2L(g1(g(θ^)))dθ2(dg(θ)dθ|θ=g1(g(θ^)))2dL(g1(g(θ^)))dθd2θdψ2dθdψ=I(θ^)(dg(θ)dθ|θ=θ^)2,
en el que usamos .dL(g1(g(θ^)))/dθ=dL(θ^)/dθ=0

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Gracias por abordar todas mis dudas y por ese simple contraejemplo con constante . Su bosquejo del caso regular es similar a lo que he hecho, así que todo está bien. Gracias. g
Stefan Hansen
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