Kullback – Leibler divergencia entre dos distribuciones gamma

Optar por parametrizar la distribución gamma $\Gamma(b,c)$ por el pdf $g(x;b,c) = \frac{1}{\Gamma(c)}\frac{x^{c-1}}{b^c}e^{-x/b}$ La divergencia Kullback-Leibler entre$\Gamma(b_q,c_q)$y$\Gamma(b_p,c_p)$viene dada por [1] como

$$\begin{align} KL_{Ga}(b_q,c_q;b_p,c_p) &= (c_q-1)\Psi(c_q) - \log b_q - c_q - \log\Gamma(c_q) + \log\Gamma(c_p)\\ &\qquad+ c_p\log b_p - (c_p-1)(\Psi(c_q) + \log b_q) + \frac{b_qc_q}{b_p} \end{align}$$

Supongo que $\Psi(x):= \Gamma'(x)/\Gamma(x)$ es la función digamma .

Esto se da sin derivación. No puedo encontrar ninguna referencia que derive esto. ¿Alguna ayuda? Una buena referencia sería suficiente. La parte difícil es integrar contra un gamma pdf.$\log x$

[1] WD Penny, KL-Divergencias de densidades normales, gamma, Dirichlet y Wishart , disponibles en: www.fil.ion.ucl.ac.uk/~wpenny/publications/densities.ps

La divergencia KL es una diferencia de integrales de la forma

$$ \ eqalign {I (a, b, c, d) & = \ int_0 ^ {\ infty} \ log \ left (\ frac {e ^ {- x / a} x ^ {b-1}} {a ^ b \ Gamma (b)} \ right) \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} dx \

& = - \ frac {1} {a} \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ de ^ {- x / c}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx - \ log (a ^ b \ Gamma (b)) \ ​​int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx \ & \ quad + (b- 1) \ int_0 ^ \ infty \ log (x) \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx \

& = - \ frac {cd} {a} - \ log (a ^ b \ Gamma (b)) + (b-1) \ int_0 ^ \ infty \ log (x) \ frac {e ^ {- x / c } x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx} $$

Solo tenemos que tratar con la integral de la mano derecha, que se obtiene observando

$$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial d}\Gamma(d) =& \frac{\partial}{\partial d}\int_0^{\infty}e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d}dx\\ =& \frac{\partial}{\partial d} \int_0^\infty e^{-x/c} \frac{(x/c)^{d-1}}{c}\,dx\\ =&\int_0^\infty e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d} \log\frac{x}{c} \,dx\\ =&\int_0^{\infty}\log(x)e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d}dx - \log(c)\Gamma(d). }$$

De dónde

$$\frac{b-1}{\Gamma(d)}\int_0^{\infty} \log(x)e^{-x/c}(x/c)^{d-1}dx = (b-1)\frac{\Gamma'(d)}{\Gamma(d)} + (b-1)\log(c).$$

Conectando con los rendimientos anteriores

$$I(a,b,c,d)=\frac{-cd}{a} -\log(a^b\Gamma(b))+(b-1)\frac{\Gamma'(d)}{\Gamma(d)} + (b-1)\log(c).$$

La divergencia KL entre y Γ ( a , b ) es igual a I ( c , d , c , d ) - I ( a , b , c , d ) , que es fácil de ensamblar.$\Gamma(c,d)$$\Gamma(a,b)$$I(c,d,c,d) - I(a,b,c,d)$

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Detalles de implementacion

Las funciones gamma crecen rápidamente, por lo que para evitar el desbordamiento no calcule Gamma y tome su logaritmo: en su lugar, use la función log-Gamma que se encontrará en cualquier plataforma de computación estadística (incluido Excel, para el caso).

$\Gamma^\prime(d)/\Gamma(d)$$\Gamma,$$\psi,$

R$I$$\psi$

#
# `b` and `d` are Gamma shape parameters and
# `a` and `c` are scale parameters.
# (All, therefore, must be positive.)
#
KL.gamma <- function(a,b,c,d) {
  i <- function(a,b,c,d)
    - c * d / a - b * log(a) - lgamma(b) + (b-1)*(psigamma(d) + log(c))
  i(c,d,c,d) - i(a,b,c,d)
}
print(KL.gamma(1/114186.3, 202, 1/119237.3, 195), digits=12)

La distribución Gamma está en la familia exponencial porque su densidad se puede expresar como:

$$\begin{align} \newcommand{\mbx}{\mathbf{x}} \newcommand{\btheta}{\boldsymbol{\theta}} f(\mbx \mid \btheta) &= \exp\bigl(\eta(\btheta) \cdot T(\mbx) - g(\btheta) + h(\mbx)\bigr) \end{align}$$

Mirando la función de densidad Gamma, su log-normalizador es

$$g(\btheta) = \log(\Gamma(c)) + c\log(b)$$ con parámetros naturales $$\btheta = \left[\begin{matrix}c-1\\-\frac1 b\end{matrix}\right]$$

Todas las distribuciones en la familia exponencial tienen divergencia KL:

$$\begin{align} KL(q; p) &= g(\btheta_p) - g(\btheta_q) - (\btheta_p-\btheta_q) \cdot \nabla g(\btheta_q). \end{align}$$

Hay una muy buena prueba de eso en:

Frank Nielsen, École Polytechnique y Richard Nock, Entropías y entropías cruzadas de familias exponenciales.