Sea una muestra aleatoria de una distribución para . Es decir,
Encuentre el estimador imparcial con varianza mínima para
Mi intento:
Como la distribución geométrica es de la familia exponencial, la estadística es completa y suficiente para . Además, si es un estimador para , es imparcial. Por lo tanto, según el teorema de Rao-Blackwell y el teorema de Lehmann-Scheffé, es el estimador que estamos buscando.
Tenemos lo siguiente:
Como las variables son geométricas, las distribuciones de sumas son binomios negativos. Pero tengo problemas para simplificar los coeficientes binomiales y dar una respuesta final con una mejor forma, si es posible. Me alegraría si pudiera obtener ayuda.
¡Gracias!
Editar: No creo que ustedes entiendan mi duda: creo que hice todos los pasos correctos, tal vez solo olvidé alguna función de indicador. Aquí esta lo que hice:
Como dije, estoy teniendo problemas para simplificar esto y con el índice somatorio