Estimador imparcial con varianza mínima para


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Sea una muestra aleatoria de una distribución para . Es decir,X1,...,XnGeometric(θ)0<θ<1

pθ(x)=θ(1θ)x1I{1,2,...}(x)

Encuentre el estimador imparcial con varianza mínima parag(θ)=1θ

Mi intento:

Como la distribución geométrica es de la familia exponencial, la estadística es completa y suficiente para . Además, si es un estimador para , es imparcial. Por lo tanto, según el teorema de Rao-Blackwell y el teorema de Lehmann-Scheffé, es el estimador que estamos buscando.

Xi
θ
T(X)=X1
g(θ)
W(X)=E[X1|Xi]

Tenemos lo siguiente:

W(X)=i=1tiP(X1=i|Xi=t)=i=1tiP(i2Xi=ti)P(X1=i)P(i1Xi=t)

Como las variables son geométricas, las distribuciones de sumas son binomios negativos. Pero tengo problemas para simplificar los coeficientes binomiales y dar una respuesta final con una mejor forma, si es posible. Me alegraría si pudiera obtener ayuda.

¡Gracias!

Editar: No creo que ustedes entiendan mi duda: creo que hice todos los pasos correctos, tal vez solo olvidé alguna función de indicador. Aquí esta lo que hice:

...=i=1ti(ti1n2)θni(1θ)tin+1θ(1θ)i1(t1n1)θn(1θ)tn=i=1ti(ti1n2)(t1n1)

Como dije, estoy teniendo problemas para simplificar esto y con el índice somatorio

Respuestas:


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De hecho, para una variante geométrica , , y el teorema de Rao-Blackwell implica que es el estimador imparcial único de varianza mínima. Pero en lugar de tratar de calcular esta expectativa condicional directamente, se podría observar que ahí que Tenga en cuenta, dicho sea de paso, que, dado queG(θ)X

Eθ[X]=1/θ=g(θ)
θ^(T)=Eθ[X1|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]==Eθ[Xn|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]=1ni=1nEθ[Xi|i=1nXi=T]=Tn
j2Xj es un binomio negativo por lo tanto, la suma final debería be Neg(n1,θ)
P(j2Xj=m)=(m1n2)θn1(1θ)mn+1Im>n1
i=1tn+1i(ti1n2)/(t1n1)
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