La función de probabilidad de una distribución lognormal es:
F( x ; μ , σ) ∝∏norteyo11σXyoExp( -( lnXyo- μ)22σ2)
y el Prior de Jeffreys es:
p ( μ , σ) ∝1σ2
combinando los dos da:
F( μ ,σ2El | x)=∏norteyo11σXyoExp( -( lnXyo- μ)22σ2) ⋅σ- 2
Sé que la densidad posterior de σ2 es inversamente distribuida Gamma, así que tengo que calcular
F(σ2El | x)=∫F( μ ,σ2El | x)dμ
pero no tengo idea de por dónde empezar aquí.
Después del comentario de Glen_b, le doy una oportunidad:
F( μ ,σ2El | x)=∏norteyo11σXyoExp( -( lnXyo- μ)22σ2) ⋅σ- 2
=σ- n - 2∏nortei = 11XyoExp( -12σ2∑nortei = 1( lnXyo- μ ) )
pero no puedo ver que esto vaya a ninguna parte.
Otra idea que obtuve es definir , entonces está distribuido normalmente. Entoncesyyo= ln(Xyo)y
F( μ ,σ2El | y) = [∏nortei = 112 π√⋅1σExp( -12σ2(yyo- μ)2) ] ⋅1σ2
∝σ- n - 2⋅ exp( -12σ2∑nortei = 1(yyo-y¯)2+ n (y¯- μ)2)
=σ- n - 2⋅ exp( -12σ2( ( n - 1 )s2+ n (y¯- μ)2) )
=σ- n - 2⋅ exp( -12σ2( ( n - 1 )s2) exp( n (y¯- μ)2) )
luego integre:
σ- n - 2⋅ exp( -12σ2( ( n - 1 )s2) ∫Exp( -12σ2n (y¯- μ)2) ) dμ
por el método que sugirió, obtengo
∫Exp( -12σ2n (y¯- μ)2) ) dμ =2 πσ2norte----√
Entonces:
∝ (σ2)- ( n + 1 ) / 2Exp( -12σ2( ( n - 1 )s2)
que es de hecho inversa Gamma distribuida.
Pero no estoy seguro de si esto es correcto, también es el mismo resultado que obtengo para una probabilidad normal.
Encontré esto en la literatura (sin más explicaciones):