Calcule la inflación observada y los valores p esperados de la distribución uniforme en la gráfica QQ

Estoy tratando de cuantificar el grado de inflación (es decir, cómo se ajustan mejor los puntos de datos observados a los esperados). Una forma es mirar el gráfico QQ. Pero me gustaría calcular algún indicador numérico para la inflación, lo que significa qué tan bien se ajusta lo observado a la distribución teórica uniforme.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Datos de ejemplo:

# random uniform distribution 
pvalue <- runif(100, min=0, max=1)
# with inflation expected i.e. not uniform distribution  
pvalue1 <- rnorm(100, mean = 0.5, sd=0.1)

probability distributions qq-plot

— rdorlearn
fuente

Para que podamos entender lo que está preguntando, incluya una definición cuantitativa de "inflación" o "inflamación" [ sic ] en esta pregunta o proporcione una explicación más precisa de lo que se supone que mide exactamente. ¿Quizás está tratando de cuantificar el grado en que una distribución empírica univariada parte de una distribución teórica preespecificada?

— whuber

Sí, me gustaría tener una medida de cuánta distribución empírica se aparta de la distribución univariada preespecificada. Puedo juzgar por QQ en términos cualitativos pero no en términos cuantitativos.

— rdorlearn

Hay diferentes maneras de probar la desviación de cualquier distribución (uniforme en su caso):

(1) Pruebas no paramétricas:

Puede utilizar las pruebas de Kolmogorov-Smirnov para ver la distribución de los ajustes de valores observados a los esperados.

R tiene una ks.testfunción que puede realizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

pvalue <- runif(100, min=0, max=1)
ks.test(pvalue, "punif", 0, 1) 

        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  pvalue
D = 0.0647, p-value = 0.7974
alternative hypothesis: two-sided

pvalue1 <- rnorm (100, 0.5, 0.1)
ks.test(pvalue1, "punif", 0, 1) 
        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  pvalue1
D = 0.2861, p-value = 1.548e-07
alternative hypothesis: two-sided

(2) Prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado

En este caso categorizamos los datos. Observamos las frecuencias observadas y esperadas en cada celda o categoría. Para el caso continuo, los datos se pueden clasificar creando intervalos artificiales (bins).

   # example 1
    pvalue <- runif(100, min=0, max=1)
    tb.pvalue <- table (cut(pvalue,breaks= seq(0,1,0.1)))
    chisq.test(tb.pvalue, p=rep(0.1, 10))

        Chi-squared test for given probabilities

data:  tb.pvalue
X-squared = 6.4, df = 9, p-value = 0.6993

# example 2
    pvalue1 <- rnorm (100, 0.5, 0.1)
tb.pvalue1 <- table (cut(pvalue1,breaks= seq(0,1,0.1)))
chisq.test(tb.pvalue1, p=rep(0.1, 10))
            Chi-squared test for given probabilities

data:  tb.pvalue1
X-squared = 162, df = 9, p-value < 2.2e-16

(3) Lambda

Si está haciendo un estudio de asociación de genoma completo (GWAS), es posible que desee calcular el factor de inflación genómica , también conocido como lambda (λ) ( ver también ). Esta estadística es popular en la comunidad de genética estadística. Por definición, λ se define como la mediana de las estadísticas de prueba de chi-cuadrado resultante dividida por la mediana esperada de la distribución de chi-cuadrado. La mediana de una distribución de chi-cuadrado con un grado de libertad es 0.4549364. Se puede calcular un valor λ a partir de puntajes z, estadísticas de chi-cuadrado o valores p, dependiendo de la salida que tenga del análisis de asociación. En algún momento se descarta la proporción del valor p de la cola superior.

Para los valores p puede hacer esto:

set.seed(1234)
pvalue <- runif(1000, min=0, max=1)
chisq <- qchisq(1-pvalue,1)


# For z-scores as association, just square them
    # chisq <- data$z^2
        #For chi-squared values, keep as is
        #chisq <- data$chisq
    lambda = median(chisq)/qchisq(0.5,1)
    lambda 
    [1] 0.9532617

     set.seed(1121)
    pvalue1 <- rnorm (1000, 0.4, 0.1)
    chisq1 <- qchisq(1-pvalue1,1)
    lambda1 = median(chisq1)/qchisq(0.5,1)
    lambda1
    [1] 1.567119

Si el análisis da como resultado que sus datos sigan la distribución normal de chi-cuadrado (sin inflación), el valor λ esperado es 1. Si el valor λ es mayor que 1, esto puede ser evidencia de algún sesgo sistemático que debe corregirse en su análisis .

Lambda también se puede estimar utilizando el análisis de regresión.

   set.seed(1234)
      pvalue <- runif(1000, min=0, max=1)
    data <- qchisq(pvalue, 1, lower.tail = FALSE)
   data <- sort(data)
   ppoi <- ppoints(data) #Generates the sequence of probability points
   ppoi <- sort(qchisq(ppoi, df = 1, lower.tail = FALSE))
   out <- list()
   s <- summary(lm(data ~ 0 + ppoi))$coeff
       out$estimate <- s[1, 1] # lambda 
   out$se <- s[1, 2]
       # median method
        out$estimate <- median(data, na.rm = TRUE)/qchisq(0.5, 1)

Otro método para calcular lambda es usar 'KS' (optimizar el ajuste de distribución chi2.1df mediante el uso de la prueba de Kolmogorov-Smirnov).

— Juan
fuente