¿Cómo se hace exactamente la restricción de centrado de suma (o media) para splines (también wrt gam de mgcv)?

El proceso de generación de datos es:$y = \text{sin}\Big(x+I(d=0)\Big) + \text{sin}\Big(x+4*I(d=1)\Big) + I(d=0)z^2 + 3I(d=1)z^2 + \mathbb{N}\left(0,1\right)$

Sea una secuencia de a de longitud y sea ​​el factor correspondiente . Tome todas las combinaciones posibles de para calcular : $x,z$$-4$$4$$100$$d$$d\in\{0,1\}$$x,z,d$$y$

El uso de la base B-spline (no centrada) para para cada nivel de no será factible mediante la propiedad de partición de unidad (las filas suman 1). Tal modelo no será identificable (incluso sin intercepción).$x,z$$d$

Ejemplo: (Configuración: 5 intervalos de nudos internos (distribuidos uniformemente), B-Spline de grado 2, la splinefunción es personalizada)

# drawing the sequence
n <- 100
x <- seq(-4,4,length.out=n)
z <- seq(-4,4,length.out=n)
d <- as.factor(0:1)
data <- CJ(x=x,z=z,d=d)
set.seed(100)

# setting up the model
data[,y := sin(x+I(d==0)) + sin(x+4*I(d==1)) + I(d==0)*z^2 + 3*I(d==1)*z^2 + rnorm(n,0,1)]

# creating the uncentered B-Spline-Basis for x and z
X <- data[,spline(x,min(x),max(x),5,2,by=d,intercept=FALSE)]
> head(X)
     x.1d0 x.2d0 x.3d0 x.4d0 x.5d0 x.6d0 x.7d0 x.1d1 x.2d1 x.3d1 x.4d1 x.5d1 x.6d1 x.7d1
[1,]   0.5   0.5     0     0     0     0     0   0.0   0.0     0     0     0     0     0
[2,]   0.0   0.0     0     0     0     0     0   0.5   0.5     0     0     0     0     0
[3,]   0.5   0.5     0     0     0     0     0   0.0   0.0     0     0     0     0     0

Z <- data[,spline(z,min(z),max(z),5,2,by=d)]
head(Z)
         z.1d0     z.2d0      z.3d0 z.4d0 z.5d0 z.6d0 z.7d0     z.1d1     z.2d1      z.3d1 z.4d1 z.5d1 z.6d1
[1,] 0.5000000 0.5000000 0.00000000     0     0     0     0 0.0000000 0.0000000 0.00000000     0     0     0
[2,] 0.0000000 0.0000000 0.00000000     0     0     0     0 0.5000000 0.5000000 0.00000000     0     0     0
[3,] 0.4507703 0.5479543 0.00127538     0     0     0     0 0.0000000 0.0000000 0.00000000     0     0     0

     z.7d1
[1,]     0
[2,]     0
[3,]     0

# lm will drop one spline-column for each factor 
lm(y ~ -1+X+Z,data=data)

Call:
lm(formula = y ~ -1 + X + Z, data = data)

Coefficients:
 Xx.1d0   Xx.2d0   Xx.3d0   Xx.4d0   Xx.5d0   Xx.6d0   Xx.7d0   Xx.1d1   Xx.2d1   Xx.3d1   Xx.4d1   Xx.5d1  
 23.510   19.912   18.860   22.177   23.080   19.794   18.727   68.572   69.185   67.693   67.082   68.642  
 Xx.6d1   Xx.7d1   Zz.1d0   Zz.2d0   Zz.3d0   Zz.4d0   Zz.5d0   Zz.6d0   Zz.7d0   Zz.1d1   Zz.2d1   Zz.3d1  
 69.159   67.496    1.381  -11.872  -19.361  -21.835  -19.698  -11.244       NA   -1.329  -38.449  -62.254  
 Zz.4d1   Zz.5d1   Zz.6d1   Zz.7d1  
-69.993  -61.438  -39.754       NA

Para superar este problema, Wood, Modelos aditivos generalizados: una introducción con R , página 163-164 propone la restricción de centrado de suma (o media):

$\boldsymbol{1}^T\boldsymbol{\tilde{X}_j}\boldsymbol{\tilde{\beta}_j}=0$

Esto se puede hacer por reparametrización si se encuentra una matriz modo que$\boldsymbol{Z}$

$\boldsymbol{1}^T\boldsymbol{\tilde{X}_j}\boldsymbol{Z}=0$

$\boldsymbol{Z}$ -matrix se puede encontrar por la descomposición QR de la matriz de restricción .$\boldsymbol{C}^T = (\boldsymbol{\boldsymbol{1}^T\boldsymbol{\tilde{X}_j}})^T = \boldsymbol{\tilde{X}_j}^T\boldsymbol{1}$

Tenga en cuenta que es por la partición de la propiedad unitaria.$\boldsymbol{\tilde{X}_j}^T\boldsymbol{1}$$\boldsymbol{1}$

La versión centrada / restringida de mi B-Spline-Matrix es:

X <- data[,spline(x,min(x),max(x),5,2,by=d,intercept=TRUE)]
head(X)
         x.1d0      x.2d0      x.3d0      x.4d0      x.5d0       x.6d0     x.1d1      x.2d1      x.3d1      x.4d1
[1,] 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655 -0.2728077 -0.05790256 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[2,] 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655
[3,] 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655 -0.2728077 -0.05790256 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000

          x.5d1       x.6d1
[1,]  0.0000000  0.00000000
[2,] -0.2728077 -0.05790256
[3,]  0.0000000  0.00000000

Z <- data[,spline(z,min(z),max(z),5,2,by=d,intercept=TRUE)]
head(Z)
         z.1d0      z.2d0      z.3d0      z.4d0      z.5d0       z.6d0     z.1d1      z.2d1      z.3d1      z.4d1
[1,] 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655 -0.2728077 -0.05790256 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[2,] 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.2271923 -0.3225655 -0.3225655 -0.3225655
[3,] 0.2875283 -0.3066501 -0.3079255 -0.3079255 -0.2604260 -0.05527458 0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000

          z.5d1       z.6d1
[1,]  0.0000000  0.00000000
[2,] -0.2728077 -0.05790256
[3,]  0.0000000  0.00000000

Mi pregunta es: Aunque el ajuste es muy similar, ¿por qué mis columnas B-Spline restringidas difieren de lo que proporciona gam? ¿Qué me perdí?

# comparing with gam from mgcv
mod.gam <- gam(y~d+s(x,bs="ps",by=d,k=7)+s(z,bs="ps",by=d,k=7),data=data)
X.gam <- model.matrix(mod.gam)
head(X.gam)
  (Intercept) d1 s(x):d0.1   s(x):d0.2  s(x):d0.3  s(x):d0.4  s(x):d0.5   s(x):d0.6 s(x):d1.1   s(x):d1.2
1           1  0 0.5465301 -0.05732768 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987 0.0000000  0.00000000
2           1  1 0.0000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.5465301 -0.05732768
3           1  0 0.5465301 -0.05732768 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987 0.0000000  0.00000000

   s(x):d1.3  s(x):d1.4  s(x):d1.5   s(x):d1.6 s(z):d0.1    s(z):d0.2  s(z):d0.3  s(z):d0.4  s(z):d0.5
1  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.5465301 -0.057327680 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207
2 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987 0.0000000  0.000000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
3  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000 0.5471108 -0.031559945 -0.2302910 -0.2213227 -0.1176356

    s(z):d0.6 s(z):d1.1    s(z):d1.2  s(z):d1.3  s(z):d1.4  s(z):d1.5   s(z):d1.6
1 -0.01043987 0.0000000  0.000000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000
2  0.00000000 0.5465301 -0.057327680 -0.2351708 -0.2259983 -0.1201207 -0.01043987
3 -0.01022388 0.0000000  0.000000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.00000000

La línea de puntos corresponde a mi ajuste, la línea recta a la versión gam

Aquí hay un ejemplo más simple usando el enlace de Nemo. La pregunta que respondo es

¿Cómo se hace exactamente la restricción de centrado de suma (o media) para splines (también wrt gam de mgcv)?

Respondo esto ya que este es el título y como

Mi pregunta es : aunque el ajuste es muy similar, ¿por qué mis columnas B-Spline restringidas difieren de lo que proporciona gam? ¿Qué me perdí?

no está claro por la razón que proporciono al final. Aquí está la respuesta a la pregunta anterior.

# simulate data
library(splines)
set.seed(100)
n <- 1000
x <- seq(-4,4,length.out=n)
df <- expand.grid(d = factor(c(0, 1)), x = x)
df <- cbind(y = sin(x) + rnorm(length(df),0,1), df)
x <- df$x

# we start the other way and find the knots `mgcv` uses to make sure we have
# the same knots...
library(mgcv)
mod_gam <- gam(y ~ s(x, bs="ps", k = 7), data = df)
knots <- mod_gam$smooth[[1]]$knots

# find constrained basis as OP describes
X <- splineDesign(knots = knots, x)
C <- rep(1, nrow(X)) %*% X
qrc <- qr(t(C))
Z <- qr.Q(qrc,complete=TRUE)[,(nrow(C)+1):ncol(C)]
XZ <- X%*%Z
rep(1, nrow(X)) %*% XZ # all ~ zero as they should
#R              [,1]          [,2]          [,3]          [,4]          [,5]          [,6]
#R [1,] 2.239042e-13 -2.112754e-13 -3.225198e-13 -6.993017e-14 -2.011724e-13 -3.674838e-14

# now we get roughtly the same basis
all.equal(model.matrix(mod_gam)[, -1], XZ, check.attributes = FALSE)
#R [1] TRUE

# if you want to use a binary by value
mod_gam <- gam(y ~ s(x, bs="ps", k = 7, by = d), data = df)
all.equal(
  model.matrix(mod_gam)[, -1],
  cbind(XZ * (df$d == 0), XZ * (df$d == 1)), check.attributes = FALSE)
#R [1] TRUE

Puede hacerlo mejor en términos de velocidad de cálculo que computar explícitamente

Z <- qr.Q(qrc,complete=TRUE)[,(nrow(C)+1):ncol(C)]
XZ <- X%*%Z

como se describe en la página 211 de

Wood, Simon N .. Modelos aditivos generalizados: una introducción con R, segunda edición (Chapman & Hall / CRC Texts in Statistical Science). CRC Press.

Hay algunos problemas en el código del OP

# drawing the sequence
n <- 100
x <- seq(-4,4,length.out=n)
z <- seq(-4,4,length.out=n)
d <- as.factor(0:1)
library(data.table) # OP did not load the library
data <- CJ(x=x,z=z,d=d)
set.seed(100)

# setting up the model
data[, y :=
     # OP only simulate n random terms -- there are 20000 rows
     sin(x+I(d==0)) + sin(x+4*I(d==1)) + I(d==0)*z^2 + 3*I(d==1)*z^2 + rnorm(n,0,1)]

# creating the uncentered B-Spline-Basis for x and z
X <- data[,spline(x,min(x),max(x),5,2,by=d,intercept=FALSE)] # gets an error
#R Error in spline(x, min(x), max(x), 5, 2, by = d, intercept = FALSE) :
#R   unused arguments (by = d, intercept = FALSE)
str(formals(spline)) # here are the formals for `stats::spline`
#R Dotted pair list of 8
#R $ x     : symbol
#R $ y     : NULL
#R $ n     : language 3 * length(x)
#R $ method: chr "fmm"
#R $ xmin  : language min(x)
#R $ xmax  : language max(x)
#R $ xout  : symbol
#R $ ties  : symbol mean

A

Mi pregunta es : aunque el ajuste es muy similar, ¿por qué mis columnas B-Spline restringidas difieren de lo que proporciona gam? ¿Qué me perdí?

entonces no entiendo cómo esperarías obtener lo mismo. Es posible que haya utilizado diferentes nudos y no veo cómo la splinefunción produciría los resultados correctos aquí.

La línea de puntos corresponde a mi ajuste, la línea recta a la versión gam

Si este último está equipado, lmentonces no está penalizado, por lo que los resultados deberían diferir.