En la convergencia de probabilidad o como convergencia, ¿qué medida es la probabilidad?

Estaba presentando pruebas de WLLN y una versión de SLLN (suponiendo un cuarto momento central acotado) cuando alguien preguntó qué medida es la probabilidad con respeto también y me di cuenta de que, reflexionando, no estaba del todo seguro.

Parece que es sencillo, ya que en ambas leyes tenemos una secuencia de $X_{i}$'s, RV independientes con media idéntica y varianza finita. Solo hay una variable aleatoria a la vista, a saber, la$X_{i}$, por lo que la probabilidad debe ser wrt la distribución de la $X_{i}$, ¿derecho? Pero eso no parece correcto para la ley fuerte, ya que la técnica de prueba típica es definir un nuevo RV$S_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$y trabaje con eso, y el límite está dentro de la probabilidad:

$Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1$

Así que ahora parece que el RV son las sumas sobre términos, por lo que la probabilidad es sobre la distribución de las sumas , donde ya no es fija. ¿Es eso correcto? Si es así, ¿cómo haríamos para construir una medida de probabilidad adecuada en las secuencias de sumas parciales?$n$$S_{n}$$n$

Contento de recibir respuestas intuitivas sobre lo que está sucediendo, así como respuestas formales utilizando, por ejemplo, análisis reales o complejos, probabilidad / estadísticas de pregrado, teoría de medidas básicas. He leído Convergencia en probabilidad versus convergencia casi segura y enlaces asociados, pero no encuentro ayuda allí.

La medida de probabilidad es la misma en ambos casos, pero la cuestión de interés es diferente entre los dos. En ambos casos tenemos una secuencia (infinitamente) de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad único . Consideramos que , y son los productos infinitos en cada caso (aquí es necesario tener cuidado porque solo estamos hablando de medidas de probabilidad porque de lo contrario podríamos tener problemas).$(\Omega,\mathscr{F},P)$$\Omega$$\mathscr{F}$$P$

Para el SLLN, lo que nos importa es la probabilidad (o medida) del conjunto de todos donde las sumas parciales escaladas NO convergen. Este conjunto tiene medida cero (wrt ), dice el SLLN.$\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$$P$

Para el WLLN, lo que nos importa es el comportamiento de la secuencia de medidas de proyección , donde para cada , es el proyección de sobre el espacio medible finito . El WLLN dice que la probabilidad (proyectada) de los cilindros (es decir, eventos que involucran ), en los que las sumas parciales escaladas no convergen, llega a cero en el límite como va al infinito$\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$$n$$P_{n}$$P$$\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$$X_{1},\ldots,X_{n}$$n$

En el WLLN estamos calculando las probabilidades que parecen eliminadas del espacio infinito del producto, pero en realidad nunca desapareció, estuvo allí todo el tiempo. Todo lo que estábamos haciendo era proyectar en el subespacio de 1 a y luego tomar el límite después. Que tal cosa es posible, que es posible construir una medida de probabilidad en un espacio de producto infinito de tal manera que las proyecciones para cada coincidan con lo que creemos que deberían, y hacer lo que se supone que deben hacer, es una de las consecuencias del teorema de la extensión de Kolmogorov .$n$$n$

Si desea leer más, he encontrado la discusión más detallada de puntos sutiles como estos en "Probability and Measure Theory" de Ash, Doleans-Dade. Hay un par más, pero Ash / DD es mi favorito.