¿Cuál es la distribución de la razón de dos variables aleatorias de Poisson?

Tengo una pregunta sobre variables aleatorias. Supongamos que tenemos dos variables aleatorias e . Digamos que es Poisson distribuido con el parámetro e es Poisson distribuido con el parámetro . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Cuando construye la fractura a partir de y llama a esto una variable aleatoria , ¿cómo se distribuye y cuál es la media? ¿Es ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
fuente

Me encontré con esto cuando busqué referencias. La inferencia para la relación de Poisson es bastante directa, tanto para los frecuentistas ( Nelson, 1970, "Intervalos de confianza para la relación de dos medias de Poisson y los intervalos de predictores de Poisson" ) como para los bayesianos (Lindley, 1965). ¡No hay problema con cero denominadores tampoco!

— Frank Tuyl

El interrogador original, y otros, pueden estar interesados en notar que tiene un valor esperado . Dependiendo de la aplicación puede ser de utilidad mayor que . Para obtener más detalles, vea mi artículo en el Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, llamado "Sesgo estadístico en las relaciones de isótopos" con DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Este es un problema frecuente en la astronomía. La solución bayesiana fue elaborada por Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Estimación bayesiana de las proporciones de dureza: modelado y cálculos ). Incluyen contaminación de fondo en su tratamiento.

— user78543

Desde el resumen, no es obvio que están tratando con la pregunta del OP. ¿Cómo se relaciona este artículo con la distribución de la razón de dos variables aleatorias de Poisson?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

Respuestas:

Creo que vas a tener un problema con eso. Debido a que la variable Y tendrá ceros, X / Y tendrá algunos valores indefinidos para que no obtenga una distribución.

— bill_080
fuente

+1 Eso es correcto. Pero (para evitar una posible confusión) el problema no es solo que

puede ser igual a

: es que puede ser igual a

con probabilidad positiva. (Por ejemplo, un cociente de normales tiene una distribución a pesar de que el denominador puede ser igual a

). Por lo tanto,

no está definido con probabilidad positiva, lo que hace que su media (y cualquier otro momento) también esté indefinida.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— Whuber

+1, pero en la literatura sobre tasas de descubrimiento falsas las personas no tienen problemas con

donde

es el verdadero positivo e

es el número total de positivos :-). Siempre se entiende, por convención, que 0 de 0 es igual a 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@ Mark: Probablemente sea mejor hacer eso como una nueva pregunta y ser realmente específico sobre lo que está tratando de lograr.

— bill_080

@NRH En su caso hay una fuerte dependencia de

. Eso cambia completamente las cosas, porque ahora la probabilidad de una relación positiva: cero es nula.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber, por supuesto que es correcto. Gracias por señalar eso. Estaba pensando que tal vez había alguna convención no declarada para hacer que el problema tuviera sentido. Pero según el comentario de @ MarkDollar anterior, parece que ese no fue el caso para empezar.

— NRH

Al darnos cuenta de que, de hecho, la proporción no es un conjunto medible bien definido, redefinimos la proporción como un conjunto medible donde la suma sigue siempre que, yeson variables de Poisson independientes. La densidad se desprende del teorema de Radon-Nykodym.

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Aaron Sheldon
fuente

Suponga que

proviene de una distribución de Poisson truncada en cero. Entonces la respuesta sería:

Y

$Y$

— Brash Equilibrium