Cómo generar datos de supervivencia con covariables dependientes del tiempo usando R

Quiero generar tiempo de supervivencia a partir de un modelo de riesgos proporcionales de Cox que contiene una covariable dependiente del tiempo. El modelo es

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

donde se genera a partir de Binomial (1,0.5) y . $X_i$ $m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

Los valores de parámetros verdaderos se utilizan como $\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

Para la covariable independiente del tiempo (es decir, lo siguiente $h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

¿Alguien puede ayudarme a generar datos de supervivencia con una covariable variable en el tiempo?

r survival cox-model time-varying-covariate

— Jeque
fuente

¿Qué tipo de función es

? ¿Es continuo? ¿Constante por partes? Probablemente se necesitará un algoritmo diferente en consecuencia.

m_{i} (t)

$m_i(t)$

— tristan

es una covariable dependiente del tiempo, por simplicidad puede considerar una relación proporcional con el tiempo.

m_{i} (t)

$m_{i}(t)$

— Jeque

He editado mi pregunta, considerando una función de

m_{i} (t)

$m_i(t)$

— Sheikh

¿Cómo realizó el código R de la ecuación anterior? significa que en cada momento de la muerte dentro de la misma identificación, el programa necesita averiguar cuáles son las covariables para todos, ya sea x es igual a 1 o 0. si todas equivalen a 1, el riesgo corre. después de eso calcular la función de supervivencia. le permite elegir la línea correcta para cada tema.

— Qas Amell

Como señala Z. Zhang, eche un vistazo a este artículo . Además, puede ver mi respuesta a su pregunta donde muestro cómo simular para aquellos en el grupo

en R.

X_{i} = 1

$X_i = 1$

— Benjamin Christoffersen

De acuerdo con su código R, está asumiendo una distribución exponencial (peligro constante) para su riesgo de referencia. Sus funciones de peligro son por lo tanto:

h (t ∣ X_{i}) = {\begin{cases} \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} t)) & if X_{i} = 1 . \end{cases}

$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$

$t$

\begin{aligned} Λ (t ∣ X_{i}) & = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \int_{0}^{t} \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} τ)) d τ & if X_{i} = 1 . \end{cases} \\ = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Estos nos dan las funciones de supervivencia:

\begin{aligned} S (t) & = \exp (- Λ (t)) \\ = {\begin{cases} \exp (- t \exp (α β_{0})) & if X_{i} = 0, \\ \exp (- \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1)) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Luego se genera muestreando y , sustituyendo por y reorganizando la fórmula apropiada (basada en ) para simular . Esto debería ser un álgebra sencilla que luego puede codificar en R, pero hágamelo saber por comentario si necesita más ayuda. $X_i$ $U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$ $U$ $S\left(t\right)$ $X_i$ $t$

— tristan
fuente

Muchas gracias por el álgebra. Codificaré en R y me pondré en contacto con usted para obtener más ayuda.

— Jeque

qué respuesta perfecta, @tristan. Tenía una pregunta similar y encontré tu respuesta. Simplemente impresionante.

— Sam

@tristan Estoy un poco confundido sobre el significado de alfa en la primera ecuación que das donde Xi = 0. ¿Te importaría ampliar un poco sobre eso? Gracias.

— Statwonk

@Statwonk se deduce de la ecuación de tasa de riesgo proporcionada por el póster original

— tristán

Lo siento, pero no estoy seguro de cómo usar la función S (t) para simular los tiempos. Creo que deberías calcular S ^ {- 1} y esta función no es trivial para el caso X_i = 1.

— Pmc