Hipervolumen de la

Estoy buscando el valor asintótico ( ) de (el logaritmo del determinante de) la covarianza del % de observaciones con la distancia euclediana más pequeña al origen en una muestra de tamaño extraída de, digamos , un estándar bivariado gaussiano. $n\rightarrow \infty$ $\alpha$ $n$

El hipervolumen de una elipse es proporcional al determinante de su matriz de covarianza, de ahí el título.

Por Gaussiano bivariado estándar, quiero decir donde es un vector de 0 de longitud 2 y es la matriz de identidad de rango 2. $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ $\pmb I_2$

Es fácil verlo mediante simulaciones que cuando el número es aproximadamente : $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

pero no recuerdo cómo obtener una expresión exacta (o en su defecto, una mejor aproximación) para esto.

r mathematical-statistics simulation

— usuario603
fuente

En su texto, no dice nada sobre los parámetros de la distribución bivariada. Además, parece que su código es sobre Mahalanobis d, no Euclidiana d.

— ttnphns

Por gaussiano estándar me refiero al centrado en el origen y con covarianza de identidad (editaré esto en). Distancia de Mahalanobis wrt a la matriz de covarianza de identidad == distancias eucledianas.

— user603

Si está utilizando el código o está buscando ayuda con el código, indique qué idioma o programa está utilizando.

— Wolfies

Ok, esta pregunta parece surgir de vez en cuando, así que pensé en dar una respuesta general.

En [1], los autores muestran que si $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ con $\varSigma$ simétrica positiva definida, y $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & S_{α} = {i : (x x_{i} - μ μ)^{'} Σ^{- 1} (x x_{i} - μ μ) ⩽ q_{α}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

para y $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & C_{α} = {cov}_{i \in S_{α}} x x_{i} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

Luego, asintóticamente, converge a donde $C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

Esta aproximación es realmente buena (aquí para alfa = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

Entonces, finalmente, para responder la pregunta, el determinante de la matriz de covarianza de las observaciones con la norma Euclediana más pequeña hasta el origen (este es el caso particular donde y ) viene dado por: $\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p \log F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - p \log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C., Haesbroeck G. (1999). Función de influencia y eficiencia del estimador de matriz de dispersión determinante de covarianza mínima. Revista de Análisis Multivariante. 71. 161--190.

— usuario603
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