¿Cómo puedo explicar la covarianza espacial en un modelo lineal?

Antecedentes

Tengo datos de un estudio de campo en el que hay cuatro niveles de tratamiento y seis réplicas en cada uno de los dos bloques. (4x6x2 = 48 observaciones)

Los bloques están separados aproximadamente 1 milla, y dentro de los bloques, hay una cuadrícula de 42 parcelas de 2m x 4m y una pasarela de 1m de ancho; mi estudio solo usó 24 parcelas en cada bloque.

Me gustaría evaluar evaluar la covarianza espacial.

Aquí hay un análisis de ejemplo que utiliza los datos de un solo bloque, sin tener en cuenta la covarianza espacial. En el conjunto de datos, plotes la identificación del gráfico, xes la ubicación xy la ubicación y yde cada gráfico con el gráfico 1 centrado en 0, 0. leveles el nivel de tratamiento y responsees la variable de respuesta.

layout <- structure(list(plot = c(1L, 3L, 5L, 7L, 8L, 11L, 12L, 15L, 16L, 
17L, 18L, 22L, 23L, 26L, 28L, 30L, 31L, 32L, 35L, 36L, 37L, 39L, 
40L, 42L), level = c(0L, 10L, 1L, 4L, 10L, 0L, 4L, 10L, 0L, 4L, 
0L, 1L, 0L, 10L, 1L, 10L, 4L, 4L, 1L, 1L, 1L, 0L, 10L, 4L), response = c(5.93, 
5.16, 5.42, 5.11, 5.46, 5.44, 5.78, 5.44, 5.15, 5.16, 5.17, 5.82, 
5.75, 4.48, 5.25, 5.49, 4.74, 4.09, 5.93, 5.91, 5.15, 4.5, 4.82, 
5.84), x = c(0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 
15, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18), y = c(0, 10, 20, 0, 5, 20, 25, 
10, 15, 20, 25, 15, 20, 0, 15, 25, 0, 5, 20, 25, 0, 10, 20, 
25)), .Names = c("plot", "level", "response", "x", "y"), row.names = c(NA, 
-24L), class = "data.frame")

model <- lm(response ~ level, data = layout)      
summary(model)

Preguntas

1. ¿Cómo puedo calcular una matriz de covarianza e incluirla en mi regresión?
2. Los bloqueos son muy diferentes, y existen fuertes interacciones de bloque * de tratamiento. ¿Es apropiado analizarlos por separado?

1) Puede modelar la correlación espacial con la nlmebiblioteca; Hay varios modelos posibles que puede elegir. Ver páginas 260-266 de Pinheiro / Bates.

Un buen primer paso es hacer un variograma para ver cómo la correlación depende de la distancia.

library(nlme)
m0 <- gls(response ~ level, data = layout)  
plot(Variogram(m0, form=~x+y))

Aquí, el semivariograma de la muestra aumenta con la distancia, lo que indica que las observaciones están correlacionadas espacialmente.

Una opción para la estructura de correlación es una estructura esférica; eso podría modelarse de la siguiente manera.

m1 <- update(m0, corr=corSpher(c(15, 0.25), form=~x+y, nugget=TRUE))

Este modelo parece encajar mejor que el modelo sin estructura de correlación, aunque es muy posible que también se pueda mejorar con una de las otras posibles estructuras de correlación.

> anova(m0, m1)
   Model df     AIC      BIC    logLik   Test  L.Ratio p-value
m0     1  3 46.5297 49.80283 -20.26485                        
m1     2  5 43.3244 48.77961 -16.66220 1 vs 2 7.205301  0.0273

2) También puede intentar incluir xy ydirectamente en el modelo; Esto podría ser apropiado si el patrón de correlación depende de algo más que la distancia. En su caso (mirando las imágenes de sesqu) parece que para este bloque de todos modos, puede tener un patrón diagonal.

Aquí estoy actualizando el modelo original en lugar de m0 porque solo estoy cambiando los efectos fijos, por lo que ambos modelos deben ajustarse usando la máxima probabilidad.

> model2 <- update(model, .~.+x*y)
> anova(model, model2)
Analysis of Variance Table

Model 1: response ~ level
Model 2: response ~ level + x + y + x:y
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
1     22 5.3809                                
2     19 2.7268  3    2.6541 6.1646 0.004168 **

Para comparar los tres modelos, deberá ajustarlos a todos glsy al método de máxima verosimilitud en lugar del método predeterminado de REML.

> m0b <- update(m0, method="ML")
> m1b <- update(m1, method="ML")
> m2b <- update(m0b, .~x*y)
> anova(m0b, m1b, m2b, test=FALSE)
    Model df      AIC      BIC     logLik
m0b     1  3 38.22422 41.75838 -16.112112
m1b     2  5 35.88922 41.77949 -12.944610
m2b     3  5 29.09821 34.98847  -9.549103

Recuerde que, especialmente con su conocimiento del estudio, es posible que pueda llegar a un modelo que sea mejor que cualquiera de estos. Es decir, el modelo m2bno debe considerarse necesariamente como el mejor todavía.

Nota: Estos cálculos se realizaron después de cambiar el valor x del gráfico 37 a 0.

1) ¿Cuál es su variable explicativa espacial? Parece que el plano x * y sería un modelo pobre para el efecto espacial.

i=c(1,3,5,7,8,11,14,15,16,17,18,22,23,25,28,30,31,32,35,36,39,39,41,42)
l=rep(NA,42)[i];l[i]=level
r=rep(NA,42)[i];r[i]=response
image(t(matrix(-l,6)));title("treatment")
image(t(matrix(-r,6)));title("response")

2) Al ver cómo los bloques están separados 1 milla y espera ver efectos por solo 30 metros, diría que es completamente apropiado analizarlos por separado.