CDF elevado a un poder?

Si $F_Z$ es un CDF, parece que $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) también es un CDF.

P: ¿Es este un resultado estándar?

P: ¿Hay una buena manera de encontrar una función $g$ con $X \equiv g(Z)$ st $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ , donde $x \equiv g(z)$

Básicamente, tengo otro CDF en la mano, $F_Z(z)^\alpha$ . En cierto sentido de forma reducida, me gustaría caracterizar la variable aleatoria que produce ese CDF.

EDITAR: Me encantaría poder obtener un resultado analítico para el caso especial $Z \sim N(0,1)$ . O al menos saber que tal resultado es intratable.

Me gustan las otras respuestas, pero nadie ha mencionado lo siguiente todavía. El evento ocurre si y solo si { m a x ( U , V ) ≤ t } , entonces si U y V son independientes y W = m a x ( U , V ) , entonces F W ( t ) F V ( t ) así que para$\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$$W = \mathrm{max}(U,V)$$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ un número entero positivo (por ejemplo, α = n ) tomar X = m un x ( Z 1 , . . . Z n ) donde los Z 's son iid$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

Para podemos cambiar para obtener F Z = F n X , entonces $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$ sería esa variable aleatoria de modo que el máximo de copias independientes tenga la misma distribución que Z (y este no sería uno de nuestros amigos conocidos , en general). $n$$Z$

El caso de un número racional positivo (digamos, α = m / n ) se deduce del anterior ya que ( F Z ) m / n = ( F 1 / n $\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Para un irracional, elija una secuencia de racionales positivos a k que converjan a α ; entonces la secuencia X k (donde podemos usar nuestros trucos anteriores para cada k ) convergerá en distribución a la X deseada.$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Puede que esta no sea la caracterización que está buscando, pero al menos le da una idea de cómo pensar en para α adecuadamente agradable. Por otro lado, no estoy seguro de cuánto más agradable puede ser: ya tienes el CDF, por lo que la regla de la cadena te da el PDF y puedes calcular los momentos hasta que se pone el sol ... Es cierto que la mayoría de las Z no tendrán una X que sea familiar para α = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ , pero si quisiera jugar con un ejemplo para buscar algo interesante, podría intentarZdistribuido uniformemente en el intervalo de la unidad conF(z)=z,0<z<1.$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

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EDITAR: escribí algunos comentarios en la respuesta @JMS, y había una pregunta sobre mi aritmética, así que escribiré lo que quise decir con la esperanza de que sea más claro.

@cardinal correctamente en el comentario a la respuesta de @JMS escribió que el problema se simplifica a o más generalmente cuando Z no es necesariamente N ( 0 , 1 ) , tener x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ Mi punto era que cuando $F$ tiene una buena función inversa, podemos resolver la función con álgebra básica. Escribí en el comentario que g debería ser y = g ( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) ) $y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Tomemos un caso especial, conectemos cosas y veamos cómo funciona. Sea una distribución Exp (1), con CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , y CDF inverso F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Es fácil enchufar todo para encontrar g ; después de que hayamos terminado, obtenemos y = g ( x ) = $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ Entonces, en resumen, mi afirmación es que si X ∼ E x p ( 1 ) y si definimos Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X ) 1 / α ) , entonces Y tendrá un CDF que se parece a F Y ( y ) = $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ Podemos probar esto directamente (mira $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ y usa álgebra para obtener la expresión, en el próximo al último paso necesitamos la Transformación Integral de Probabilidad). Solo en el caso (a menudo repetido) de que estoy loco, realicé algunas simulaciones para verificar que funciona, ... y lo hace. Vea abajo. Para facilitar el código, utilicé dos hechos: si  X ∼ F,  entonces  U = F ( X ) ∼ U n i f ( 0 , 1 $P(Y \leq y)$ $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

La gráfica de los resultados de la simulación sigue.

El código R utilizado para generar la trama (menos etiquetas) es

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

El ajuste se ve bastante bien, creo? ¿Quizás no estoy loco (esta vez)?

Prueba sin palabras

La curva azul inferior es $F$, la curva roja superior es $F^\alpha$ (tipificando el caso $\alpha \lt 1$), y las flechas muestran cómo ir desde $z$ a $x = g(z)$.

Q1) Yes. It's also useful for generating variables which are stochastically ordered; you can see this from @whuber's pretty picture :). $\alpha>1$ swaps the stochastic order.

That it's a valid cdf is just a matter of verifying the requisite conditions: $F_z(z)^\alpha$ has to be cadlag, nondecreasing and limit to $1$ at infinity and $0$ at negative infinity. $F_z$ has these properties so these are all easy to show.

Q2) Seems like it would be pretty difficult analytically, unless $F_Z$ is special