Deje con el significado de que rv es normal con media
y desviación estándar . Considerando , sabemos que existen dos secuencias
y modo queXi∼i.i.dLNorm(μ,σ)logXiμσMn:=max1⩽i⩽nXian>0bn
Mn−bnan→Gum(0,1)(1)
donde denota la distribución de Gumbel con ubicación y scale . Esto significa que
para todas las .Gum(ν,β)νβFMn(anx+bn)→FGum(x;0,1)x
Obviamente, las dos secuencias y dependen de y
, por lo que podrían denotarse como y
. Por ejemplo, si se reemplaza por
, la distribución de se reemplaza por la de y la distribución de se reemplaza por la de , lo que implica que
y deben reemplazarse por y para mantener el mismo límite. Del mismo modo, si reemplazamosanbnμσan(μ,σ)bn(μ,σ)μμ+1XieXiMneMnanbneanebnμpor con
sin cambios, debe reemplazarse por y luego
y deben reemplazarse por y .0σXie−μXianbne−μane−μbn
La pregunta puede formularse como: si usamos las secuencias
y en el lado izquierdo de (1), en lugar de la debida
y : ¿obtenemos
en el lado derecho? La respuesta es entonces no, porque los parámetros de Gumbel son de hecho parámetros de ubicación y escala, mientras que esto no es cierto para el log-normal. El parámetro
del log-normal impacta la cola, como puede verse por el hecho de que el coeficiente de variación aumenta con . Mientras que
siempre permanece en el dominio de atracción de Gumbel, las secuenciasan(0,1)bn(0,1)an(μ,σ)bn(μ,σ)Gum(μ,σ)σσLNorm(μ,σ)any debe tender a más rápidamente a medida que aumenta. Se puede demostrar que podemos (1) usar secuencias y modo que ver Embrechts P., Klüppelberg C. y Mikosch T. tabla 3.4.4 pp 155 -157. Si usamos las secuencias y con una incorrecta , no obtendremos un límite no degenerado para el lado izquierdo de (1), porque las tasas de crecimiento de y son adecuadas para la cola debn∞σanbnbn(μ,σ)=eμbn(0,1)σ,an(μ,σ)=σ(2logn)−1/2bn(μ,σ),
anbnσanbnXi .