Cálculo de potencia para prueba de razón de probabilidad

Tengo dos variables aleatorias de Poisson independientes, y , con y . Quiero probar versus la alternativa .$X_1$$X_2$$X_1 \sim \text{Pois}(\lambda_1)$$X_2 \sim \text{Pois}(\lambda_2)$$H_0:\, \lambda_1 = \lambda_2$$H_1:\, \lambda_1 \neq \lambda_2$

Ya obtuve estimaciones de máxima verosimilitud bajo hipótesis nula y alternativa (modelo), y en base a las que calculé el estadístico de prueba de razón de verosimilitud (LRT) (códigos R que se dan a continuación).

Ahora estoy interesado en calcular la potencia de la prueba en función de:

1. Alfa fijo (error tipo 1) = 0.05.
2. Usando diferentes tamaños de muestra (n), digamos n = 5, 10, 20, 50, 100.
3. Combinación diferente de y , que cambiará las estadísticas LRT (calculadas como se muestra a continuación).$\lambda_1$$\lambda_2$LRTstat

Aquí está mi código R:

X1 = rpois(λ1); X2 = rpois(λ2)
Xbar = (X1+X2)/2
LLRNum = dpois(X1, X1) * dpois(X2, X2)
LLRDenom = dpois(X1, Xbar) * dpois(X2, Xbar)
LRTstat = 2*log(LLRNum/LLRDenom)

A partir de aquí, ¿cómo podría proceder con el cálculo de potencia (preferiblemente en R)?

Puedes hacer esto usando simulación.

Escriba una función que haga su prueba y acepte las lambdas y los tamaños de muestra como argumentos (tiene un buen comienzo arriba).

Ahora, para un conjunto determinado de lambdas y tamaños de muestra, ejecute la función varias veces (la función de replicación en R es excelente para eso). Entonces el poder es solo la proporción de veces que rechaza la hipótesis nula, puede usar la función media para calcular la proporción y la prueba de prop. Para dar un intervalo de confianza en el poder.

Aquí hay un código de ejemplo:

tmpfunc1 <- function(l1, l2=l1, n1=10, n2=n1) {
    x1 <- rpois(n1, l1)
    x2 <- rpois(n2, l2)
    m1 <- mean(x1)
    m2 <- mean(x2)
    m <- mean( c(x1,x2) )

    ll <- sum( dpois(x1, m1, log=TRUE) ) + sum( dpois(x2, m2, log=TRUE) ) - 
            sum( dpois(x1, m, log=TRUE) ) - sum( dpois(x2, m, log=TRUE) )
    pchisq(2*ll, 1, lower=FALSE)
}

# verify under null n=10

out1 <- replicate(10000, tmpfunc1(3))
mean(out1 <= 0.05)
hist(out1)
prop.test( sum(out1<=0.05), 10000 )$conf.int

# power for l1=3, l2=3.5, n1=n2=10
out2 <- replicate(10000, tmpfunc1(3,3.5))
mean(out2 <= 0.05)
hist(out2)

# power for l1=3, l2=3.5, n1=n2=50
out3 <- replicate(10000, tmpfunc1(3,3.5,n1=50))
mean(out3 <= 0.05)
hist(out3)

Mis resultados (su diferencia con una semilla diferente, pero deberían ser similares) mostraron una tasa de error tipo I (alfa) de 0.0496 (IC 95% 0.0455-0.0541) que está cerca de 0.05, se puede obtener más precisión al aumentar el valor de 10000 en el comando replicar. Los poderes que calculé fueron: 9.86% y 28.6%. Los histogramas no son estrictamente necesarios, pero me gusta ver los patrones.