¿Por qué R's lm () devuelve estimaciones de coeficientes diferentes a las de mi libro de texto?

Antecedentes

Estoy tratando de entender el primer ejemplo en un curso sobre modelos de adaptación (por lo que esto puede parecer ridículamente simple). He hecho los cálculos a mano y coinciden con el ejemplo, pero cuando los repito en R, los coeficientes del modelo están desactivados. Pensé que la diferencia puede deberse a que el libro de texto usa la varianza de la población ( ), mientras que R puede estar usando la varianza de la muestra ( S 2 ), pero no puedo ver dónde se usan en los cálculos. Por ejemplo, si se usa en alguna parte, la sección de ayuda sobre notas:$\sigma^2$$S^2$lm()var()var()

Se utiliza el denominador n - 1 que proporciona un estimador imparcial de la (co) varianza para las observaciones de iid.

He mirado el código para ambos lm()y lm.fit()como tampoco hacer uso devar() , pero lm.fit()pasa esos datos al código C compilado ( z <- .Call(C_Cdqrls, x, y, tol, FALSE)) al que no tengo acceso.

Pregunta

¿Alguien puede explicar por qué R está dando resultados diferentes? Incluso si hay una diferencia en el uso de la varianza muestra versus población, ¿por qué difieren las estimaciones de coeficientes?

Datos

Ajuste una línea para predecir el tamaño del zapato de grado en la escuela.

# model data
mod.dat <- read.table(
    text = 'grade shoe
                1    1
                2    5
                4    9'
    , header = T);

# mean
mod.mu  <- mean(mod.dat$shoe);
# variability 
mod.var <- sum((mod.dat$shoe - mod.mu)^2)

# model coefficients from textbook
mod.m  <- 8/3;
mod.b  <- -1;

# predicted values  ( 1.666667 4.333333 9.666667 )
mod.man.pred       <- mod.dat$grade * mod.m + mod.b;
# residuals         ( -0.6666667  0.6666667 -0.6666667 )
mod.man.resid      <- (mod.dat$shoe - mod.man.pred)
# residual variance ( 1.333333 )
mod.man.unexpl.var <- sum(mod.man.resid^2);
# r^2               ( 0.9583333 )
mod.man.expl.var   <- 1 - mod.man.unexpl.var / mod.var;

# but lm() gives different results:
summary(lm(shoe ~ grade, data = mod.dat))

Call:
lm(formula = shoe ~ grade, data = mod.dat)

Residuals:
      1       2       3 
-0.5714  0.8571 -0.2857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  -1.0000     1.3093  -0.764    0.585
grade         2.5714     0.4949   5.196    0.121

Residual standard error: 1.069 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9643,    Adjusted R-squared:  0.9286 
F-statistic:    27 on 1 and 1 DF,  p-value: 0.121

Editar

Como ha demostrado Ben Bolker , a veces parece que los maestros cometen errores. Parece que los cálculos de R son correctos. Moraleja de la historia: no creas algo solo porque un maestro dice que es verdad. ¡Compruébalo por ti mismo!

Parece que el autor cometió un error matemático en alguna parte.

Si expande la desviación de la suma de cuadrados

$S$$b$$m$

Resolver

R says this is indeed 2.571429 ...

Based on this link this seems to be from a Coursera course ... ? Maybe there was a mis-transcription of the data somewhere?

The other, independent way to do this calculation is to know that the estimated regression slope is equal to the sum of cross products ($\sum (y-\bar y) (x-\bar x)$) divided by the sum of squares ($\sum (x-\bar x)^2$).

g <- c(1,2,4)
g0 <- g - mean(g)
s <- c(1,5,9)
s0 <- s- mean(s)
sum(g0*s0)/(sum(g0^2))
## [1] 2.571429

If think if the shoe sizes were $\{1,11/3,9\}$ instead of $\{1,5,9\}$ then the slope would come out to 8/3 ...