¿Cómo encontrar una densidad a partir de una función característica?

Una distribución tiene la función característica.

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Muestre que la distribución es absolutamente continua y escriba la función de densidad de la distribución.

Intento:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | d t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Resultado similar para ya que es cuadrado. $[0,\infty]$ $t$

No estoy muy seguro de haber hecho la integración correctamente, pero si puedo demostrar que el valor absoluto de es menor que , entonces la función es absolutamente continua. $\phi(t)$ $\infty$

— statsguyz
fuente

Use ese para para cualquier polinomio . Esto asegura que ambas colas sean integrables.

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$

p

$p$

— Stefan Hansen

Las funciones de densidad se encuentran con la transformada inversa de Fourier. La función de densidad de la distribución, si existe tal densidad, estará dada por

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ((1 - x^{2} / 2) e^{- x^{2} / 4}) d x .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Esta integral se puede dividir en dos, cada uno de los cuales tiene un integrando de la forma

\exp (- Q_{t} (x)) x^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

donde es una forma cuadrática con un término negativo es un número entero no negativo. Esto hace que cada integrando sea una función de Schwartz (que disminuye rápidamente) , asegurando su integrabilidad para cualquier . La integrabilidad demuestra que es continua ; La rápida disminución demuestra que es absolutamente continua. Las integrales se realizan fácilmente completando el cuadrado en el exponencial, reduciéndolos a múltiplos de momentos pares de la distribución gaussiana. El resultado es $Q_t$ $k$ $t$

f (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

La continuidad de confirma la conclusión anterior de la continuidad absoluta de la distribución. $f$

Parcela de f

El cuadrado de esta variable (simétrica) tiene una distribución Gamma . $(3/2, 1)$

Alternativamente, uno podría reconocer que

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- i)^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

es proporcional a la segunda derivada de la Gaussiana , lo que implica (dado que el operador en funciones características es equivalente a la multiplicación de funciones de distribución por la variable) que la densidad existe y es proporcional a veces la densidad cuyo cf es . Eso es inmediatamente reconocible como una distribución gaussiana (normal) con densidad proporcional a . En este punto, todo lo que tiene que hacer es calcular la constante de normalización de mediante integración o calculando la varianza de una distribución Normal con desviación estándar . $e^{-t^2/4}$ $-id/dt$ $f(x)$ $x^2$ $2e^{-t^2/4}$ $e^{-x^2}$ $2/\sqrt{\pi}$ $\sqrt{1/2}$

— whuber
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