Intervalo de confianza para diferencia de medias en regresión

Supongamos que tengo un modelo de regresión cuadrática

Y = β_{0 0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + ϵ

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$ con los errores satisfaciendo los supuestos habituales (independiente, normal, independiente de los valores de ). Sea las estimaciones de mínimos cuadrados.

ϵ

$\epsilon$

X

$X$

b_{0}, b_{1}, b_{2}

$b_0, b_1, b_2$

Tengo dos nuevos valores y , y estoy interesado en obtener un intervalo de confianza para . $X$ $x_1$ $x_2$ $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

La estimación puntual es , y ( si me equivoco) puedo estimar la varianza por utilizando las estimaciones de varianza y covarianza de los coeficientes proporcionados por el software. $\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

{\hat{s}}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} Var (b_{1}) + (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})^{2} Var (b_{2}) + 2 (x_{2} - x_{1}) (x^{2} - x_{1}^{2}) Cov (b_{1}, b_{2})

$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$

Podría usar una aproximación normal y tomar como un intervalo de confianza del 95% para , o podría usar un intervalo de confianza bootstrap, pero ¿hay alguna manera de calcular la distribución exacta? y usar eso? $\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$ $v$

regression confidence-interval

— mark999
fuente

\hat{v}

$\hat{v}$

Entonces, ¿estás diciendo que el intervalo de confianza normal es correcto? Si entiendo correctamente, según esa lógica también usaríamos intervalos de confianza normales para los parámetros. Pero usamos intervalos basados en la distribución t.

— mark999

La distribución t se usa porque estás estimando la varianza del error; si eso se supiera, entonces tendría una distribución normal como dice @whuber.

— JMS

Gracias por tu comentario. Lo que pregunto es si la distribución t también se puede usar para un intervalo de confianza para v como se define en la pregunta, y si es así, ¿con cuántos grados de libertad?

— mark999

Todas las variaciones y covarianzas dependen en última instancia de la variación estimada de los residuos. Por lo tanto, el DF a utilizar es el DF en esta estimación, igual al número de valores de datos menos el número de parámetros (incluida la constante).

— whuber

$p$ $X$ $X^2$ $n$ $\mathbf{X}$ $n \times (p+1)$ $\hat{\beta}$ $p+1$ $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

\frac{{una}^{T} \hat{β} - {una}^{T} β}{\hat{σ} \sqrt{{una}^{T} (X^{T} X)^{- 1} una}} \sim t_{norte - pag - 1} .

$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$

$\beta$ $t$

$p = 2$ $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$ $\hat{\sigma}^2$ $n-p-1$ $n$

— NRH
fuente

Gracias, ese es exactamente el tipo de cosas que estaba buscando. ¿Pero hay un error en la fórmula? Las dimensiones no parecen coincidir en

. ¿Debería

ser el

a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a

$a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a$

X

$\mathbf{X}$

n \times (p + 1)

$n \times (p+1)$ matriz que tiene unos en la primera columna?

— mark999

@ mark999, sí,

X

$\mathbf{X}$

p + 1

$p+1$