Distribución de partes 'sin mezclar' según el orden de la mezcla

Supongamos que tengo pares de observaciones dibujadas iid como para . Sea y denote por el valor más grande observado de $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ . ¿Cuál es la distribución (condicional) de ? (o equivalente, el de ) $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

Es decir, ¿cuál es la distribución de condicionada a ser el ª más grande de valores observados de ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

Supongo que como , la distribución deconverge a sólo la distribución incondicional de, mientras que como, la distribución deconverge a la distribución incondicional de laésimo estadísticos de orden de. En el medio, sin embargo, no estoy seguro. $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
fuente

Eliminé la etiqueta "mezcla" porque esta es una pregunta sobre una suma (o, equivalentemente, sobre variables normales correlacionadas), no sobre una mezcla de ellas.

— Whuber

también se supone independiente de

, ¿sí?

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

— Cardenal

@ cardinal: sí, son independientes.

— shabbychef

Una pregunta reciente y relacionada que apareció en matemáticas. SE

— cardenal

La solución publicada en Math.SE es conceptualmente idéntica a la solución que doy a continuación, pero formulada con una terminología ligeramente diferente.

— NRH

Respuestas:

Observe que la variable aleatoria es una función de solamente. Para un -vector, , escribimos para el índice de la ª más grande de coordenadas. Supongamos también que denota la distribución condicional de $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ dado . $Z_1$

Si desglosamos las probabilidades de acuerdo con el valor de y desintegramos wrt obtenemos $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Este argumento es bastante general y se basa solo en los supuestos de iid establecidos, y podría ser cualquier función dada de . $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

Bajo los supuestos de las distribuciones normales (tomando ) y es la suma, la distribución condicional de dado es $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$ y @probabilityislogic muestra cómo calcular la distribución de, por lo tanto, tenemos expresiones explícitas para ambas distribuciones que entran en la última integral anterior. Si la integral se puede calcular analíticamente es otra cuestión. Es posible que pueda, pero fuera de mi cabeza no puedo decir si es posible. Para el análisis asintótico cuandoopodría no ser necesario.

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$

La intuición detrás del cálculo anterior es que este es un argumento de independencia condicional. Dado las variables e son independientes. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
fuente

La distribución de no es difícil, y está dada por la distribución del compuesto Beta-F: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Donde es un PDF normal estándar, y es un CDF normal estándar, y . $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Ahora, si se le da que , entonces es una función 1 a 1 de , es decir, . Entonces, creo que esta debería ser una aplicación simple de la regla jacobiana. $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Esto parece demasiado fácil, pero creo que es correcto. Feliz de que me muestren mal.

— probabilidadislogica
fuente

Has entendido mal la pregunta. Estoy buscando la distribución de

en función de

. En realidad no observo los

, y no puedo condicionarlos. Se puede suponer, wlog que

, y por lo tanto considerar solo los parámetros

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— shabbychef

ok, entonces, ¿básicamente necesitas eliminar

de esta ecuación? (integrado)

y

$y$

— probabilistico

si; y no es independiente de Z ...

— shabbychef