Se lanza una moneda justa hasta que aparece una cabeza por primera vez. La probabilidad de que esto suceda en un lanzamiento de número impar es?

Se lanza una moneda justa hasta que aparece una cabeza por primera vez. La probabilidad de que esto suceda en un lanzamiento de número impar es? ¿Cómo abordo este problema?

Sume las probabilidades de que la moneda salga cara por primera vez en el lanzamiento 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• El plazo es bastante obvio, que es la probabilidad de que el primer lanzamiento siendo cabezas.$1/2$

• El plazo es la probabilidad de obtener cabezas por primera vez en la tercera cara o cruz, o la TTH secuencia. Esa secuencia tiene una probabilidad de 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 .$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• El plazo es la probabilidad de obtener cabezas por primera vez en el quinto sorteo, o el TTTTH secuencia. Esa secuencia tiene una probabilidad de 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 .$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Ahora podemos reescribir la serie anterior como

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Esta es una serie geométrica que sumas a . La forma más fácil de mostrar esto es con un ejemplo visual. Comience con la serie$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Esta es una serie geométrica que suma .$1$

Si sumamos sólo los términos incluso de esa serie, podemos ver que la suma es .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$