Funciones de pérdida de percentil

La solución al problema:

$$\min_{m} \; E[|m-X|]$$

se sabe que es la mediana de $X$ , pero ¿cómo se ve la función de pérdida para otros percentiles? Ej: el percentil 25 de X es la solución para:

$$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$$

¿Qué es $L$ en este caso?

Deje que $I$ sea ​​la función del indicador: es igual a $1$ para argumentos verdaderos y $0$ caso contrario. Elija $0\lt\alpha\lt 1$ y establezca

$$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$$

Esta figura traza $\Lambda_{1/5}$ . Utiliza una relación de aspecto precisa para ayudarlo a medir las pendientes, que equivalen a $-4/5$ en el lado izquierdo y $+1/5$ a la derecha. En este caso, las excursiones por encima de $0$ tienen un peso muy bajo en comparación con las excursiones por debajo de $0$ .

Es una función natural para probar porque pondera valores que exceden diferente que que son menores que . Calculemos la pérdida asociada y luego la optimicemos.0 x $x$$0$$x$$0$

Escribir para la función de distribución de y configurar , calcularX L α ( m , x ) = Λ α ( x - m $F$$X$$L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

$$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$$

Como varía en esta ilustración con la distribución Normal estándar , se traza el área ponderada por probabilidad total de . (La curva es la gráfica de .) La gráfica de la derecha para muestra más claramente el efecto de la disminución de los valores positivos, ya que sin esta disminución la gráfica ser simétrico sobre el origen. La gráfica central muestra el óptimo, donde la cantidad total de tinta azul (que representa ) es lo más pequeña posible.F Λ 1 / 5 Λ 1 / 5 ( x - m ) d F ( x ) m = 0 E F ( L 1 / 5 ( m , X ) $m$$F$$\Lambda_{1/5}$$\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$$m=0$$\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\ $

Esta función es diferenciable y, por lo tanto, sus extremos se pueden encontrar inspeccionando los puntos críticos. La aplicación de la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo para obtener la derivada con respecto a da$m$

$$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$$

Para distribuciones continuas esto siempre tiene una solución que, por definición, es cualquier cuantil de . Para distribuciones no continuos esto podría no tiene una solución, pero habrá al menos un para la que para todos y para todos : esto también (por definición) es un cuantil de .α X m F ( x ) - α < 0 x < m F ( x ) - α ≥ 0 x ≥ m α $m$$\alpha$$X$$m$$F(x)-\alpha\lt 0$$x\lt m$$F(x)-\alpha\ge 0$$x\ge m$$\alpha$$X$

Finalmente, debido a que y , está claro que ni ni minimizarán esta pérdida. Eso agota la inspección de los puntos críticos, mostrando que ajusta a la factura.α ≠ 1 m → - ∞ m → ∞ Λ $\alpha\ne 0$$\alpha\ne 1$$m\to-\infty$$m\to\infty$$\Lambda_\alpha$

Como caso especial, es la pérdida exhibida en el pregunta.$\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

Este artículo tiene tu respuesta. Para ser específico, La función de pérdida puede interpretarse como 'equilibrar' las diferentes regiones de masa de probabilidad alrededor de través de la resta . Para la mediana, estas regiones de masa son iguales: haciendo que la función de pérdida sea proporcional (en la expectativa la constante es insignificante) a que da la conclusión deseada para la mediana.0.25 0.25 - 1 { X > m } L 0.5 ( m , X ) = | ( X - m ) ( 0.5 - 1 { X > m } )

$$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$$ $0.25$$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$| X - m | $$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$$ $$\left| X - m\right|,$$