¿Cuál es el nombre de la falacia estadística por la cual los resultados de lanzamientos de monedas anteriores influyen en las creencias sobre lanzamientos de monedas posteriores?

Como todos sabemos, si lanzas una moneda que tiene la misma probabilidad de lanzar caras que de colas, entonces si lanzas la moneda muchas veces, la mitad de las veces obtendrás caras y la otra mitad obtendrás colas.

Cuando discutieron esto con un amigo, dijeron que si lanzabas la moneda 1000 veces, y digamos que las primeras 100 veces aterrizaban caras, entonces aumentaban las posibilidades de aterrizar una cola (la lógica es que si es imparcial, luego, cuando lo haya volteado 1000 veces, tendrá aproximadamente 500 caras y 500 colas, por lo que las colas deben ser más probables).

Sé que es una falacia, ya que los resultados pasados ​​no influyen en los resultados futuros. ¿Hay un nombre para esa falacia particular? Además, ¿hay una mejor explicación de por qué esto es falaz?

Se llama la falacia del jugador .

La primera oración de esta pregunta incorpora otra falacia (relacionada):

"Como todos sabemos, si lanzas una moneda que tiene la misma probabilidad de lanzar cara que si sale cruz, entonces si lanzas la moneda muchas veces, la mitad de las veces obtendrás cara y la mitad de las veces obtendrás colas ".

No, no conseguiremos eso, no tendremos cara la mitad del tiempo y cruz la mitad del tiempo. Si tuviéramos eso, entonces el jugador no estaría tan equivocado después de todo . La expresión matemática para esta declaración verbal es la siguiente: para algunos "grandes" (pero finitos) , tenemos n h = n $n'$ , donde evidentementenhdenota el número de veces que la moneda cae cara. Comon'es finito, entoncesn'+1también es finito y un valor distinto den'. Entonces, ¿qué sucededespués delan'+1flip se ha hecho? O aterrizó cabezas, o no. En ambos casos,nhha dejado de ser igual a "la mitad del número de lanzamientos".$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$

Pero tal vez lo que realmente quería decir era un "inimaginablemente grande" ? Entonces declaramos$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

Pero aquí, el RHS ("lado derecho") contiene que por el LHS ("lado izquierdo") ha pasado al infinito. Entonces, el RHS también es infinito, y lo que dice esta afirmación es que el número de veces que la moneda caerá cara es igual al infinito, si arrojamos la moneda un número infinito de veces (la división por 2 es insignificante):$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

Esta es una afirmación esencialmente correcta, pero inútil , y obviamente no es lo que tenemos en mente.

En total, la afirmación en la pregunta no se cumple, independientemente de si el "total de lanzamientos" se considera finito o no.

Quizás entonces deberíamos decir

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

En primer lugar, esto se traduce en "La relación del número de aterrizado cabezas sobre el total de lanzamientos tiende al valor cuando el número de lanzamientos tiende a infinito", que es una declaración diferente - no "medio de los lanzamientos totales" aquí. Además, así es como la probabilidad$1/2$ veces todavía se percibe la como un límite determinista de frecuencias relativas. El problema con esta declaración es que contiene en el LHS una forma indeterminada: tanto el numerador como el denominador van al infinito.

Hmmm, traigamos el arsenal de la variable aleatoria . Defina una variable aleatoria como el valor 1 si el i -ésimo lanzamiento salió cara, 0 si salió cruz. Entonces tenemos n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

¿Podemos ahora al menos declarar

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

No se . Este es un límite determinista. Permite todas las posibles realizaciones de la secuencia de los s', y así lo hace ni siquiera garantía de que existirá un límite, y mucho menos que sea igual a 1 / 2 . De hecho, tal afirmación solo puede verse como un$X$$1/2$ restricción en la secuencia, y destruiría la independencia de los lanzamientos.

Lo que podemos decir, es que esta converge promedio suma de probabilidad ( "débil") a (Ley de Bernoulli -Weak de los grandes números),$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

y en el caso en consideración, que también converge casi seguramente ("fuertemente") (Borel-Ley Fuerte de Números Grandes)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

$n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$ (que de acuerdo con la declaración falsa debe ser cero - y no es )

Es cierto que se necesita un esfuerzo intelectual dedicado para comprender realmente estas dos afirmaciones, y cómo se diferencian (en "teoría" y en "práctica") de algunas de las anteriores. Todavía no pretendo tener una comprensión tan profunda.

Esta falacia tiene muchos nombres.

1) Probablemente sea mejor conocido como el falacia del jugador

2) a veces también se le llama la ' ley de los números pequeños ' (también vea aquí ) (porque se relaciona con la idea de que las características de la población deben reflejarse en muestras pequeñas), lo que creo que es un buen nombre por su contraste con la ley de grandes números, pero desafortunadamente el mismo nombre se aplica a la distribución de Poisson (y también a veces los matemáticos lo usan para significar otra cosa), por lo que puede ser confuso.

3) entre las personas que creen en la falacia, a veces se la denomina " ley de los promedios ", que en particular tiende a invocarse después de una carrera sin algún resultado para argumentar que el resultado es "debido", pero, por supuesto, no a corto plazo la ley existe, nada actúa para 'compensar' un desequilibrio inicial, la única forma en que se elimina una discrepancia inicial es por el volumen de valores posteriores que tienen un promedio de 1/2 .

$H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

$n\to\infty$$\frac{H_n}{n}$$\frac{_1}{^2}$, $E|H_n-T_n|$ grows with increasing $n$ - indeed it grows without bound; there's nothing "pushing it back toward 0".

¿Estás pensando en 'estocástico'? El lanzamiento de una moneda justa (o el lanzamiento de un dado justo) es estocástico (es decir, independiente) en el sentido de que no depende de un lanzamiento previo de dicha moneda. Asumiendo una estafa justa, el hecho de que la moneda haya sido lanzada cien veces con cien caras resultantes no cambia el hecho de que el próximo lanzamiento tiene una probabilidad de 50/50 de ser caras.

Por el contrario, la probabilidad de robar una determinada carta que roba una carta de un mazo de cartas sin reemplazo no es estocástica porque la probabilidad de robar cierta carta cambiará la probabilidad de robar la carta en el próximo robo (si fue con reemplazo, Sería estocástico).

Adding on to Glen_b's and Alecos's responses, let's define $X_n$ to be the number of heads in the first $n$ trials. A familiar result using the normal approximation to the binomial is that $X_n$ is approximately $N(n/2, \sqrt{n/4})$. Now, before observing the first 100 tosses, your friend is correct that there is a good chance that $X_{1000}$ will be close to 500. In fact,

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$.

However, after observing $X_{100} =100$, let's define $Y_{900}$ to be number of heads in the last 900 trials, then

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

since $Y_{900}$ approximately $N(450, 15)$.

Thus, after observing 100 heads in the first 100 trials, there is no longer a high probability of observing close to 500 successes in the first 1000 trials, assuming of course that the coin is fair. Note that this is a concrete example illustrating that an initial imbalance is unlikely to be compensated for in the short run.

Further, note that if $n=1,000,000$, then

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

but the impact of the imbalance in the first 100 tosses is negligible in the long run since

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

Te refieres a la falacia del jugador , aunque esto no es del todo correcto.

De hecho, si se formula como "dada una moneda justa supuesta y se observa una secuencia dada de resultados, ¿cuál es la estimación de las probabilidades elementales de la moneda?", Esto se vuelve más evidente.

De hecho, la " falacia " se relaciona solo con monedas justas (supuestas), donde los diversos productos de los problemas son iguales. Sin embargo, esto implica una interpretación que está en contraste con (estudio de) casos similares con una moneda que tiene otra distribución de probabilidad (no simétrica / sesgada).

Para una discusión adicional de esto (y un pequeño giro) vea esta pregunta .

Esto es exactamente como la falacia utilizada en muchos estudios estadísticos donde la correlación implica causalidad . Pero puede ser un indicio de una relación de causalidad o causa común.

Just to note, that if you get a huge run of heads or tails in a row, you may be better off revisiting your prior assumption assumption that the coin was fair.