¿Cuántas pegatinas necesito para completar mi álbum FIFA Panini?

Estoy jugando el Álbum de pegatinas en línea de FIFA Panini , que es una adaptación a Internet de los álbumes clásicos de Panini que generalmente se publican para la copa mundial de fútbol, ​​el campeonato europeo y posiblemente otros torneos.

El álbum tiene marcadores de posición para 424 pegatinas diferentes. El objetivo del juego es recolectar todos los 424. Las pegatinas vienen en paquetes de 5, que se pueden obtener a través de códigos que se encuentran en línea (o, en el caso del clásico álbum impreso, comprado en su puesto de periódicos local).

Hago los siguientes supuestos:

• Todas las pegatinas se publican en la misma cantidad.
• Un paquete de pegatinas no contiene duplicados.

¿Cómo puedo saber cuántos paquetes de pegatinas necesito adquirir para estar razonablemente seguro (digamos 90%) de que tengo las 424 pegatinas únicas?

Ese es un hermoso problema para el coleccionista de cupones, con un pequeño giro introducido por el hecho de que las pegatinas vienen en paquetes de 5.

Si las pegatinas se compraron individualmente, el resultado se conoce, como puede ver aquí .

Todas las estimaciones para un límite superior del 90% para las pegatinas compradas individualmente también son límites superiores para el problema con un paquete de 5, pero un límite superior menos cercano.

Creo que obtener un límite superior de probabilidad de 90% mejor, usando el paquete de dependencia 5, sería mucho más difícil y no le daría un resultado mucho mejor.

Entonces, usando la estimación de cola con y , llegarás a Una buena respuesta. n = 424 n - β + 1 = $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$$n=424$$n^{-\beta+1} = 0.1$

EDITAR :

El artículo "El problema del coleccionista con los dibujos grupales" (Wolfgang Stadje), una referencia del artículo presentado por Assuranceturix, presenta una solución analítica exacta para el problema del coleccionista de cupones con "paquetes de pegatinas".

Antes de escribir el teorema, algunas definiciones de notación: sería el conjunto de todas las etiquetas posibles,. sería el subconjunto que le interesa (en el OP, ), y. Vamos a dibujar, con reemplazo, subconjuntos aleatorios de diferentes calcomanías. será el número de elementos de que aparecen en al menos uno de esos subconjuntos.s = | S | A ⊂ S A = S l = | A | k m X k ( A ) $S$$s = |S|$$A \subset S$$A = S$$l = |A|$$k$$m$$X_{k}(A)$$A$

El teorema dice que:

Por lo tanto, para la OP tenemos y . Hice algunos intentos con valores de cercanos a la estimación para el problema del coleccionista de cupones clásico (729 paquetes) y obtuve una probabilidad de 90.02% para k igual a 700 .m = 5 $l=s=n=424$$m=5$$k$

Por lo tanto, no estaba tan lejos del límite superior :)

El otro día me encontré con un artículo que aborda una pregunta estrechamente relacionada:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Si lo he entendido correctamente, el número esperado de paquetes que necesitaría comprar sería:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Sin embargo, como eqperes señala en los comentarios, la pregunta específica que hace el OP se cubre en detalle en otro documento que no es de acceso abierto.

Su conclusión final sugiere la siguiente estrategia (para un álbum de 660 stickers):

• Compre una caja de 100 paquetes de 5 adhesivos (500 adhesivos, garantizados para ser todos diferentes)
• Compre 40 paquetes más de 5 calcomanías e intercambie los duplicados hasta que tenga como máximo 50 calcomanías faltantes.
• Compre los adhesivos restantes directamente de Panini (estos cuestan aproximadamente 1,5 veces más).

Esto es un total de 140 paquetes + hasta 15 paquetes adicionales de pegatinas (por costo) compradas de manera específica, equivalente a un máximo de 155 paquetes .