En un proceso de Poisson medido con cierta eficiencia, ¿el recuento medido sigue siendo Poisson?

Situación:

Digamos que tengo un proceso de Poisson, como la desintegración radiactiva, que produce partículas R por segundo. Mido con un detector. Hay una probabilidad P de que el detector detecte una partícula.

Cosas que creo que sé:

1. El tiempo entre llegadas de la emisión de partículas se distribuye exponencialmente con parámetros basados en R .
2. El número de partículas emitidas antes de la detección está dada por una binomial negativa basada en P .
3. Si se muestrea un número N de (2), la suma de N muestras de (1) puede proporcionar una sola muestra del tiempo entre llegadas para las partículas detectadas . Esta suma puede obtenerse mediante el muestreo de una distribución gamma con parámetros basados en N y R .

Mi pregunta:

Si se puede calcular un solo tiempo entre llegadas mediante el muestreo de una gamma basada en N y R , ¿cómo el número de detectores en un intervalo termina siendo Poisson nuevamente? (Para ser Poisson, el tiempo entre llegadas para el detector debe ser exponencial, no distribuido de acuerdo con alguna cosa gamma extraña). Por supuesto, N fluctúa, pero no puedo ver cómo funciona esto.

Sin embargo, estoy casi completamente seguro de que los recuentos de detectores están de hecho distribuidos por Poisson. ¿Alguien podría mostrarme las matemáticas? ¡Gracias por la ayuda!

EDITAR:

Encontré este artículo: Fried, DL "Ruido en la corriente de fotoemisión". Óptica Aplicada 4.1 (1965): 79-80.

Lo que muestra el resultado de que una variable aleatoria de Poisson seleccionada binomialmente también es Poisson con una tasa dada por PR. Esto confirma el comentario de jbowman. Aún así, me interesaría ver la explicación de cómo mi proceso de generar el tiempo entre llegadas al detector usando la distribución negativa binomial y gamma es incorrecto. Este es mi mayor problema mental. Gracias.

EDITAR 2:

Escribí este script matlab para probar si lo que estaba intentando con la distribución gamma funcionó. Resulta que de alguna manera los tiempos entre llegadas gamma generados con un N distribuido geométricamente son exponenciales y coinciden con los tiempos entre llegadas sugeridos por Poisson (PR). (ia2 e ia3 están distribuidos de manera idéntica). ¿Alguna idea de cómo funciona esto analíticamente? ¡No era intuitivamente obvio para mí!

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n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');

Un argumento no técnico rápido podría usar las redes Jackson . En su caso, el total de llegadas externas es la tasa , y no hay transiciones internas (las partículas observadas no cambian a la cola no observada). La proporción de división entre los nodos observados y no observados es , entonces el$R$$p_{0i}$$P$

$\lambda_{obs}=RP$

Si está buscando los primeros principios, llame a el proceso de conteo observado, y al proceso de conteo total. Donde cada llegada a se registra en con probabilidad . Entonces, si para algunos tenemos entonces tiene una distribución binomial ( ).$O(t)$$N(t)\sim PP(r)$$N(t)$$O(t)$$p$$s$$N(s)=n$$O(s)$$n,p$

Este enfoque utiliza funciones generadoras de probabilidad:

$E[z^{O(t)}|N(t)=n]=\sum_{j=0}^{n}z^{j} {n \choose j}p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+pz)^{n}$

Última igualdad por el teorema binomial. Entonces, incondicionalmente, ya que :$N(t)\sim Poisson(rt)$

$E[z^{O(t)}]=E[E[z^{O(t)}|N(t)=n]]=\sum_{n=0}^{\infty}(1-p+pz)^{n}\frac{rt^n}{n!}e^{-rt}=e^{-rt}e^{rt(1-p+pz)}=e^{rpt(z-1)}$

Cuál es la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson ( ).$rpt$